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多孔質媒体内の階層的変化を記述する偏微分方程式と自由境界問題の連立系の研究

Research Project

Project/Area Number 20K03704
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research InstitutionKyoto University of Education (2023)
Nagasaki University (2020-2022)

Principal Investigator

熊崎 耕太  京都教育大学, 教育学部, 教授 (30634563)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords多孔質媒体 / 自由境界問題 / 偏微分方程式 / 微視的領域 / 巨視的領域 / 数理モデル / 解の存在と一意性 / 偏微分方程式と自由境界問題の連立
Outline of Research at the Start

寒冷地においては、コンクリート内部の細孔に存在している水分が凍結融解を繰り返し、細孔の構造が変化することによって、物質表面のひび割れへと発展する。本研究では、このような多孔質媒体の階層的な変化を、物質で占められた領域における偏微分方程式と細孔領域における自由境界問題によって表現し、それらを連立させた問題の解の存在と一意性を確立する。また、こうした問題の解の持つ性質や構造を明らかにし、両領域の相互変化・作用を考察する。

Outline of Annual Research Achievements

本研究では、多孔質媒体全体における変化を偏微分方程式、内部の微視的な変化を自由境界問題によって表し、それらの連立系の適切性を考察することにより、両変化を同時に扱うことのできる数学的枠組みを構築することが目的である。本年度得られた結果は以下である。
1. 多孔質媒体全体では、相対湿度の変化を表す拡散方程式を考える。また、多孔質媒体の1点に対して、1つの細孔に見立てた1次元区間を対応させ、その区間内では水分量の変化を表す自由境界問題を考える。昨年度は、時間局所解の延長による方法を用いて時間大域解を構成し、さらに比較原理を用いて解が時間大域的に有限となることを示した。これらの結果と質量保存則を用い、各点における相対湿度の流入量が時間大域的に有限となることを示した。これらの評価を用いて解の時間大域的な一様評価を導いた。
2. 1.で得られた一様評価を用いて、連立系の解が時間無限大において定常問題の解に収束することを示した。その結果として、まず拡散方程式の解は物質全体の初期水分量から各点における流入量の総和を除いた値の平均に、自由境界問題の解は1次元区間内の初期水分量と各点における流入量に応じた値に収束することがわかった。
3. 本問題では、巨視的領域では強解、微視的領域では弱解として解を構成した。微視的領域で弱解となっている要因は、微視的領域における自由境界問題の解の評価にある。この評価の導出方法を見直すことによって、微視的領域において強解を構成するための方策を得た。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度の進捗状況は以下である。
物質全体(巨視的領域)における相対湿度の変化を偏微分方程式、細孔内部(微視的領域)における水分量の変化を自由境界問題によって表した連立系の解に対して、時間大域的な評価を導出し、この評価を用いて解の時間大域的な挙動を示すことができた。これまでの研究では、微視的な領域が時間に伴って変化しない場合に解の時間大域的な挙動が示されているが、今回のような微視的な領域が時間に伴って変化する場合では解の時間大域的な挙動に関する結果はない。そのため、今回得られた結果は重要な成果であると考える。これらの結果から、本年度の進捗状況として順調に進展しているものと考える。

Strategy for Future Research Activity

本年度の進捗状況に基づき、次年度の研究を以下のように設定する。
物質全体(巨視的領域)の変化を表す偏微分方程式と内部の細孔(微視的領域)の変化を表す自由境界問題との連立系に対して、巨視的変数、微視的変数ともに強解となるような解の存在を示す。方針として、まず滑らかな関数を用いた適切な近似問題を考え、この問題に対する解の存在を示す。その後、この解に対する近似引数によらない評価を導き、近似引数の極限として解の構築を試みる。

Report

(4 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • Research Products

    (28 results)

All 2024 2023 2022 2021 2020

All Journal Article (6 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 6 results,  Open Access: 1 results) Presentation (22 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 11 results)

  • [Journal Article] Measurability of a solution to a free boudnary problem describing swelling phenomenon in porous materials2024

    • Author(s)
      Kota Kumazaki
    • Journal Title

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      Volume: 33 Pages: 55-76

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  • [Journal Article] Large time behavior of a solution to a free boundary problem describing migration into rubbers with a breaking effect2023

    • Author(s)
      Kota Kumazaki
    • Journal Title

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      Volume: 32 Pages: 273-289

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  • [Journal Article] Local existence of a solution to a free boundary problem describing migration into rubber with a breaking effect2022

    • Author(s)
      Kumazaki Kota、Aiki Toyohiko、Muntean Adrian
    • Journal Title

      Networks and Heterogeneous Media

      Volume: 18 Issue: 1 Pages: 80-108

    • DOI

      10.3934/nhm.2023004

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    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] A free boundary problem describing migration into rubbers -Quest for the large time behavior2022

    • Author(s)
      Aiki Toyohiko、Kumazaki Kota、Muntean Adrian
    • Journal Title

      ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik

      Volume: - Issue: 7

    • DOI

      10.1002/zamm.202100134

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    • Author(s)
      Toyohiko Aiki, Kota Kumazaki
    • Journal Title

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      Volume: 29 Pages: 247-282

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  • [Journal Article] Remark on differentiability of solutions of free boundary problems describing water adsorption2020

    • Author(s)
      Toyohiko Aiki, Kota Kumazaki
    • Journal Title

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      Volume: 29 Pages: 283-293

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      Kota Kumazaki, Adrian Muntean
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      Kota Kumazaki, Adrian Muntean
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  • [Presentation] Properties of a solution to a free boundary problem with flux boundary conditions and its application to two-scale models2023

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      Kota Kumazaki
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Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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