Research on variational problems for the functionals with variable exponents
Project/Area Number |
20K03707
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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Research Institution | Tokyo University of Science |
Principal Investigator |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部数学科, 嘱託教授 (50188257)
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Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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Keywords | 変分問題 / 弱解の正則性 / double phase / p(x)-growth / partial regularity / 解の正則性 / 変動する指数をもつ汎関数 / non-standard growth / double phase functional |
Outline of Research at the Start |
変分問題とはある「量」の極値,特に最小値を与えるような関数を求める問題を言う.例えば与えられた境界条件のもとで面積を最小とするように張れる石鹸膜の形状は,面積という「量」に対する変分問題の解となっている.一般に変分問題の解はある微分方程式の解となっていることが期待され,そのため微分可能性が期待される.本研究の目的はDouble phaseと呼ばれる,場所によって性質が大きく変わるタイプの「量」に対する変分問題の解が十分な微分可能性を持つことを示すことにある.
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Outline of Annual Research Achievements |
2021度に引き続き,double phaseタイプと呼ばれるタイプで,変動する指数を持つタイプの汎関数の最小点を与える写像の正則性に関して研究を進めている.具体的には,(|Du|のp(x)乘)+a(x)|Du|のq(x)乘もしくは(|Du|のp(x)乘)+a(x)(|Du|のp(x)乘)log(1+|Du|)の積分で与えられるタイプの汎関数を扱っている.ここで,Duはm-次元ユークリッド空間の有界領域Ω上で定義されn次元ユークリッド空間に値を持つ未知関数uの微分,p(x), q(x), a(x)はいずれもΩ上で定義された連続関数で,q(x)は各点でp(x)以上,p(x)は1より真に大きく,a(x)は0以上の値を取る関数とする.以下,前者をp(x)-q(x)タイプ,後者をp(x)-p(x)logタイプと呼ぶ.どちらのタイプも,a(x)=0となる集合の境界上で,いわゆるgrowth orderが不連続的に変わることが正則性の問題を困難にしている. 2020年度よりCatania大・Ragusa教授との共同研究でp(x)-p(x)logタイプの汎関数の最小値を与える写像の正則性を研究していたが,未知関数の微分Duのヘルダー連続性まで得ることができた.これは通常期待される最善の結果とみなすことができ,この研究はほぼ完成したと言ってよく,現在論文にまとめている. 一方,p(x)-q(x)タイプの汎関数について, |Du|をx,uに依存する係数行列によるDuの2次形式A(x,u)DuDu(Aは Ω×(n-次元ユークリッド空間)上で定義された対象なテンソル場で一様楕円性条件を満たすものとする)の平方根で置き換えたタイプの汎関数を研究し,部分正則性に関する結果を得ることができた.これはすでに論文としてまとめ,現在投稿中である.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2021年度同様,2022年度前半はコロナ禍の影響で海外出張,外国人招聘もできなかったため共同研究者・Maria Alessandra Ragusa 教授(カターニア大・イタリア)と研究連絡もままならなかったが,zoomによって研究連絡を行い,なんとか研究成果を得ることができた. 2022年度後半からは海外渡航の手続き上の困難さはだいぶ解消されたが,急激な円安と,ポストコロナのホテル需要の高まりの影響で,日本円に換算した海外のホテル代が高騰し,本学規定の枠内では滞在費を賄うことが難しく,海外渡航は控えてしまった.そのため研究遂行には窮屈な状況であることに変わりはなく,予定通りには研究が進められなかった.Ragusa教授との研究連絡も次のステップに進みたいところではあるが,そのためには対面での研究連絡が不可欠であり,思うように進展させることはできなかった.
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Strategy for Future Research Activity |
研究の内容としては,これまで通りdouble phaseタイプと,変動する指数を持つタイプ,さらにはそれらのハイブリッドタイプの汎関数の最小を与える写像の正則性について研究を進めていく予定である. 私の研究では,共同研究者たちと直接会って意見交換・討議することが重要で,海外との行き来が3年間も不自由で,非常に困難な状況であった.zoomを利用しての研究連絡・議論はそもそも隔靴掻痒の感を免れ得ないうえ,時差の関係もあり,十分に機能したとは言い難かった. やっと世界的に「コロナ後」と言える状況になりつつあり,今年度こそは対面での研究連絡・議論を充実させていきたい.現時点では秋頃を目処にCatania大への出張を考えているが,異常な円安のため規定の滞在費の枠内では大幅に「足が出る」可能性もあり,実現できるかどうか不確かである. また,関係する研究者を研究連絡のために招いて,研究の活性化を図りたい.しかし,日本国内のホテル代も高騰しており,規定の滞在費で実際の滞在費を十分に賄えるかどうかは微妙であり,招聘にも慎重にならざるを得ない.
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Report
(3 results)
Research Products
(7 results)