Toward a solution of the Continuum Problem from the point of view of %% set-theoretic multiverse
Project/Area Number |
20K03717
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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Research Institution | Kobe University |
Principal Investigator |
渕野 昌 神戸大学, システム情報学研究科, 名誉教授 (30292098)
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Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
酒井 拓史 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (70468239)
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Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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Keywords | Laver-genericity / 絶対性 / 反映原理 / 連続体 / 連続体仮説 / Maximality Principles / Resurrection Axioms / Laver genericity / Laver genericity の定義可能性 / Loewenheim-Skolem 定理の拡張 / 定常性の反映原理 / Hamburger 問題 / Galvin 仮説 / Laver-genericicity / Loewenheim-Skolem定理の拡張 / 竹内の公理 / Hamburger 仮説 / Rado 仮説 / 連続体問題 / 集合論的多世界宇宙 / 巨大基数 / 数学の基礎づけ |
Outline of Research at the Start |
本研究は,連続体とも呼ばれる実数の全体の集合の集合論的,数学的構造についての知見を深めることを目指している.特に連続体の集合としての大きさを決定する「連続体問題」の解決が研究の最終目標である.連続体は数学研究において中心的な役割をはたす数学的対象であり,その意味で本研究は全数学の基礎付けの問題とも密接に関係し,数学の他の分野への応用の観点からも多くの興味深い問題につながるものであり,そのような問題の解決に向けた研究も含むた広がりをもつ課題となっている.
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Outline of Annual Research Achievements |
Laver-generically large cardinal (LGLC) の存在を主張する公理群に関する研究を,更に進めた.これらの公理のうち,Laver-generically superhuge cardinal の tight な存在公理から,Joel Hamkins と Thomas Johnstone による Resurrection Axiom が導かれることが,示せた.更に,Konstantin Tsaprounis の導入した ultrahuge cardinals に対応する Laver-generically ultrahuge cardinal の存在公理から,同じ Tsaprounis による,Unbounded Resurrecion Axiom (UR) や,Hamkins による Maximality Principle の一つの variant が導けることも,示せた. これらの結果は,大きな巨大基数に対応する LGLC の存在の主張に,集合論の 「本当の」universe が持つことを期待される絶対性や反映の性質を統合できることを示唆している. なお,tightly Laver-generically ultrahuge cardinal の存在公理たちのモデルは,superhuge cardinal の存在する集合論の モデルから出発して強制法により構成することができる.Ultrahuge cardinal は,非常に大きな巨大基数ではあるが,この性質は,super almost 2-hugeness から帰結できることが,Tsaprounis により示されている.したがって,この巨大基数の存在公理は,rank-into-rank cardinals よりは下の階層に属すものである. UR 自身の consistency は,既に extendible cardinal の存在の仮定から導けるが,研究代表者と研究分担者は,この extendible cardinal の small large cardinal 版と言えるものを導入し,その abstract model theoretic な特徴付けと,この基数の存在の consistency strength の評価を与えた. 研究代表者は,これらの結果と関連した講演を,New York Set Theory Seminar 等の zoom seminars や zoom/hybrid conferences で行なった.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究により,ultrahuge cardinals の存在,というこれまで研究で考察してきた supercompact, super almost-huge, superhuge といった巨大基数の存在公理より更に強い仮定から強制法によってモデルを構成できる,該当する iterable な posets のクラスに対する Laver generically ultrahuge cardinal の存在公理を仮定することで,同じ iterable な posets のクラスに対応する Maximality Principle の variant や強い形の Resurrection Axiom が導かれることが示せた. このことは,非常に大きな巨大基数に対応する Laver generic large cardinal の存在が,連続体 (濃度) の周辺での強い絶対性や反映原理を統合する原理となっている,という本研究の立案段階での基本仮説を強く支持し,2020年度までの研究で得られていた,Laver-generic large cardinal の存在から導かれる連続体の濃度に関する三分律定理の意義は,この研究結果により,大きく引き上げられた,考えることができる.次年度の研究で,これらの結果を更に精査/改良できれば,本研究の掲げた目標の大きな部分が達成できたことになる,という解釈が可能に思える.
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Strategy for Future Research Activity |
「現在までの進捗状況」で述べたような,既に得られた,強い絶対性や反映原理の連続体周辺での統合に関する結果を精査/改良し,この研究成果を複数の論文として発表し,国際学会やセミナー等での研究成果の報告を行なう. 現在,LGLC と Ground Axiom の両立の可能性と,Mateo Viale による,集合論のモデルの model companion に関連する公理群と LGLC の関連性が未解決の問題として残っており,これらに関する研究に着手する.
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Report
(3 results)
Research Products
(31 results)