| Project/Area Number |
20K03722
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University (2022-2023)
Osaka Prefecture University (2020-2021) |
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Principal Investigator |
丸田 辰哉 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80239152)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | 線形符号 / 最適符号 / 符号の拡張可能性 / 有限射影幾何 / Griesmer 限界 / blocking set / 最適線形符号 / 有限幾何 |
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| Outline of Research at the Start |
有限体上の最適な線形符号を求める「最適線形符号問題」は、代数的符号理論における最も基本的な未解決問題として重要な研究課題である。線形符号の存在限界を求めるために、特定のパラメータを持つ符号の非存在証明や最適な線形符号の構成と分類が必要となる。線形符号の生成行列から得られる有限射影空間の多重集合の幾何構造を解明することによって、線形符号の拡張可能性、最適線形符号の構成や分類、Griesmer 符号の非存在証明等を行い、線形符号の誤り訂正能力の限界を求めることを目的とする。位数が小さい有限体上の最適な線形符号の構成や分類にはコンピュータを用いる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
q 元体上の長さ（符号長） n, 次元 k, 最小重み d の線形符号（[n,k,d]q 符号）が存在する限界を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題（Optimal Linear Codes Problem）と呼ばれる。符号の誤り訂正限界を求めるには、[n,k,d]q 符号が存在するような最小重み d の最大値 d_q(k,d) を求めれば良いが、これは [n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d) を求める問題と等価である。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた知見を活用して最適な線形符号の長さの最小値を確定したり、まだ発見されていない最適な線形符号のコンピュータによる探索や構造解析等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。
本年度は、主に q元体上の４次元線形符号の最適線形符号問題（n_q(4,d) の決定問題）について取り組み、有限射影空間 PG(3,q) 上の hyperbolic quadric を活用した４次元の最適線形符号の新たな構成方法を見出した。また、「局所的に重みが限定される」という概念を新たに考案し、最も簡単な「局所的に符号語の重みが q を法として２種類しかない」場合を解決し、Griesmer 符号の非存在証明に応用できることを示した。これらの成果については、それぞれ国際学術雑誌に発表した。更に、韓国の研究者と共同研究を行った５次元線形符号の存在限界について、成果を論文にまとめる作業を開始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
「研究実績の概要」で述べたように、線形符号の拡張可能性と存在限界について、一定の成果が得られ、国際学術雑誌の論文として発表することができた。その一方で、コロナの影響により、国際共同研究が当初の予定より遅れていることは否めない。以上により、研究全体としては、「やや遅れている」と評価される。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限体上の線形符号に対する最適線形符号問題については、引き続き n_q(k,d) の値が未決定な場合の検討を行う。また、局所的に重みが限定される場合の線形符号の拡張可能性とその Griesmer 符号の非存在証明への応用についても引き続き検討する予定である。新たな最適線形符号のコンピュータを用いた探索や構造解析も、引き続き大学院生と共に行う予定。未解決問題を含む低次元の n_q(k,d) の表は website で公開しており、随時更新したい。
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