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位相的時空間解析に向けたノイズ安定性の解明:導来同値の活用

Research Project

Project/Area Number 20K03760
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
Research InstitutionOsaka Metropolitan University (2022-2023)
Institute of Physical and Chemical Research (2020-2021)

Principal Investigator

吉脇 理雄  大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (90613183)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Keywords位相的時空間解析 / 2パラメータパーシステントホモロジー / ノイズ安定性 / 導来同値 / Auslander-Reitenクイバー / 区間表現 / 2パラメータパーシステントホモロジー
Outline of Research at the Start

位相的データ解析はデータ解析の中でも「データの形」に着目したものであり,その中でもパーシステントホモロジーを用いた手法は形の大きさなどの定量的性質を調べることができる.従来のパーシステントホモロジーの理論は1パラメータに対するもので,代数的な困難さが原因で時空間といった2パラメータデータにそのままでは適用できない.本研究の目的は位相的時空間解析にむけて必須の理論である2パラメータパーシステントホモロジーのデータのノイズに対する安定性を明らかにすることであり,その特徴は代数的な困難さを導来同値を用いて突破することにある.

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は位相的時空間解析を確立するのに必須である2パラメータパーシステントホモロジーについて、データのノイズに対する安定性を明らかにすることである。より具体的には、導来同値を用いてより取り扱いやすいものへと帰着させる考えに基づいて、安定性の代数部分である代数的安定性定理を以下のように明らかにすることであった。(い) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象で代数的安定性定理を示すこと。(ろ)代数的安定性定理は、導来同値のもとで伝播すること。(は)代数的安定性定理は、導来圏から制限可能であること。(に) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象について、その導来圏へ(い)の結果を拡張すること。
2020年度は(い)、(ろ)、(は)を達成、2022年度に論文を出版。2021年度では(に)に取り組み、部分的に(ほ)2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、代数的安定性定理を示した。昨年度にこれを全体に拡張するための策を改めて検討した結果、(へ)「区間表現の性質を明らかにすること」が必要となると判断した。区間表現は1パラメータパーシステントホモロジーでは出力であるパーシステンス図を与える。2パラメータでは一致しないが、区間表現による近似の可能性が示されており、その性質を明らかにすることが本研究に寄与すると考えたためである。今年度にかけて、上記(へ)について研究を行い、論文を2編出版した(doi.org/10.1016/j.jaca.2023.100007、doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107397)。前者で数値的に、後者では表現論的に区間表現を捉えることができたのは大きな進歩である。
なお、国際会議で発表を行った。加えて、方策の検討及び他研究者との交流の場として、オンライン研究集会を今年度も主催した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

計画では、二年目に「2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し,ノイズに対して安定であることを明らかにする」こと、すなわち、研究実績の概要で述べた(に)とその結果として(ほ)を得ることに取り組むこととなっていた。三年目はそれを元に(b)既存研究との比較により、それらを包括した研究となっていることを明らかにする計画であった。2021年度は(に)(結果として(ほ)も)一部を達成できたものの、(に)全体への拡張に困難を伴っていた。そのため2022年度から研究集会を主催するなど本研究に寄与する方策を検討し、その策について研究が必要になった。すなわち、(に)の困難さを突破するために考えていた具体策「直接的に導来圏の対象を特徴付けを行うことと,導来圏の分解の道具である recollement を用いること」に加えて、新たに(へ)「区間表現の性質を明らかにすること」が必要となった。これに対して今年度は研究を進め、論文を2編出版し、数値的かつ表現論的に区間表現を捉えることができたが、(に)の困難さを突破するに至らなかった。したがって総体として遅れていると判断した。

Strategy for Future Research Activity

計画の2年目以降は(a)2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、ノイズに対して安定であることを明らかにすること、(b)既存研究との比較により、それらを包括した研究となっていることを明らかにすることを順次行う計画であった。研究集会で得た知見や(へ)「区間表現の性質を明らかにすること」の研究をさらに押し進めることで、(a)での遅れを取り戻し、(b)へ進める。 すなわち、(へ)に関して、区間表現を数値的かつ表現論的に捉えるだけでは足りなかったため、さらに圏論的に捉える方向での研究を進める。そして、その結果を用いて(に)「2パラメータパーシステントホモロジーの導来同値な対象について代数的安定性定理が導来圏へ拡張できることを明らかにすること」を一部ではなく全体まで広げることについてその困難を突破し、既存研究との比較を行う。なお、文献にあたるだけでなく、今年度も引き続き研究集会を開催するなどして、他研究者との交流を行っていく。

Report

(4 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • Research Products

    (18 results)

All 2023 2022 2021 2020 Other

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 4 results,  Open Access: 2 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results) Remarks (5 results)

  • [Journal Article] Approximation by interval-decomposables and interval resolutions of persistence modules2023

    • Author(s)
      Asashiba Hideto、Escolar Emerson G.、Nakashima Ken、Yoshiwaki Michio
    • Journal Title

      Journal of Pure and Applied Algebra

      Volume: 227 Issue: 10 Pages: 107397-107397

    • DOI

      10.1016/j.jpaa.2023.107397

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On approximation of 2D persistence modules by interval-decomposables2023

    • Author(s)
      Asashiba Hideto、Escolar Emerson G.、Nakashima Ken、Yoshiwaki Michio
    • Journal Title

      Journal of Computational Algebra

      Volume: 6-7 Pages: 100007-100007

    • DOI

      10.1016/j.jaca.2023.100007

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Algebraic stability theorem for derived categories of zigzag persistence modules2022

    • Author(s)
      Hiraoka Yasuaki、Ike Yuichi、Yoshiwaki Michio
    • Journal Title

      Journal of Topology and Analysis

      Volume: - Pages: 1-45

    • DOI

      10.1142/s1793525322500091

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Algebraic stability theorem for derived categories of zigzag persistence modules2022

    • Author(s)
      Y. Hiraoka, Y. Ike and M. Yoshiwaki
    • Journal Title

      Proceedings of the 53rd Symposium on Ring Theory and Representation Theory

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Journal Article] On isomorphisms of generalized multifold extensions of algebras without nonzero oriented cycles2021

    • Author(s)
      Asashiba, Hideto: Kimura, Mayumi; Nakashima, Ken; Yoshiwaki, Michio
    • Journal Title

      Comm. Algebra

      Volume: 49 Issue: 3 Pages: 1048-1070

    • DOI

      10.1080/00927872.2020.1826958

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Algebraic stability theorem for derived categories of zigzag persistence modules2023

    • Author(s)
      Y. Hiraoka、Y. Ike、M. Yoshiwaki
    • Organizer
      TDA week 2023
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] パーシステントホモロジーのノイズ安定性と導来圏2023

    • Author(s)
      吉脇 理雄
    • Organizer
      研究集会「パーシステントホモロジーと表現論」
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Approximation by interval-decomposables and interval resolutions of persistence modules2022

    • Author(s)
      エスカラ エマソン ガウ, 浅芝 秀人, 中島 健, 吉脇 理雄
    • Organizer
      第54回環論および表現論シンポジウム
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Approximation by interval-decomposables and interval resolutions of 2D persistence modules2022

    • Author(s)
      浅芝 秀人, Emerson G. Escolar, 中島 健, 吉脇 理雄
    • Organizer
      日本数学会2022年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] パーシステンス加群の導来圏と代数的安定性定理2021

    • Author(s)
      吉脇 理雄
    • Organizer
      九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究「位相的データ解析の理論と応用」
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] Algebraic stability theorem for derived categories of zigzag persistence modules2021

    • Author(s)
      平岡 裕章,池 祐一,吉脇 理雄
    • Organizer
      第53回環論および表現論シンポジウム
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 区間表現による2Dパーシステント表現の近似2021

    • Author(s)
      浅芝 秀人,Emerson G. Escolar,中島 健,吉脇 理雄
    • Organizer
      日本応用数理学会第17回研究部会連合発表会
    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Presentation] ジグザグパーシステント加群に対する代数的安定性定理2020

    • Author(s)
      平岡 裕章,吉脇 理雄
    • Organizer
      日本数学会2020年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Remarks] 吉脇理雄 ー研究者ー researchmap

    • URL

      https://researchmap.jp/m_yoshiwaki/

    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report 2021 Research-status Report 2020 Research-status Report
  • [Remarks] 大阪公立大学数学研究所 数学研究所員

    • URL

      https://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/about/member/member.html

    • Related Report
      2023 Research-status Report 2022 Research-status Report 2021 Research-status Report
  • [Remarks] パーシステントホモロジーと表現論2024

    • URL

      https://sites.google.com/view/ph-repn2024/home

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Remarks] 理研AIP トポロジカルデータ解析チーム

    • URL

      https://aip.riken.jp/labs/generic_tech/topology_data_anl/

    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Remarks] 大阪市立大学数学研究所 数学研究所員

    • URL

      https://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/about/member/member.html

    • Related Report
      2020 Research-status Report

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Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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