Project/Area Number |
20K03762
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 13010:Mathematical physics and fundamental theory of condensed matter physics-related
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Research Institution | The University of Tokyo |
Principal Investigator |
堀 健太朗 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (30535042)
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Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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Keywords | 超対称ゲージ理論 / 線演算子 / 超対称局所化 / サイバーグ双対性 / 射影双対性 / 双対性 / コンパクト化 / ミラー対称性 / 超弦理論 / ブレーン配位 |
Outline of Research at the Start |
異なる方法で定式化された理論が実は等価であるという「双対性」と呼ばれる現象は場の量子論、弦理論の発展において重要な役割を果たしてきた。本研究は、2,3,4次元における超対称ゲージ理論が双対性とコンパクト化によってどの様に関係しているのかを理解することを目標としている。特に2次元(2,2)超対称非可換ゲージ理論のミラー対称性を3次元N=4超対称非可換ゲージ理論のミラー対称性から導き、さらには4次元超対称ヤン・ミルズ理論の電磁双対性とも関係づけたい。また、2次元のサイバーグ双対性のもとでの境界状態の対応関係を用いて3,4次元のサイバーグ双対性のもとでの線演算子や面演算子の対応関係を理解したい。
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Outline of Annual Research Achievements |
2,3,4次元における超対称ゲージ理論が双対性とコンパクト化によってどの様に関係しているのか、特に、異なる次元の理論の演算子(局所演算子や線や面などに台を持つ高次元演算子や境界条件など)がどの様に対応するのか、を明らかにすることが本研究の目的である。 令和4年度は3次元超対称ゲージ理論における線演算子の理解を目指して以下の研究を行った。演算子を分類する方法として「状態・演算子対応」がある。共形場の理論においては、局所演算子と球面上の状態の対応が知られているが線や面に台を持つ演算子に対してはそのような対応関係が存在しないことが指摘されている。一方、超対称場の理論におけるBPS演算子に対してはそのような対応が台の次元に関わりなく存在することを認識した。特に3次元理論においては線演算子のコホモロジー類とトーラス上の状態のコホモロジー類との間の対応関係が存在することがわかった。また、演算子を調べる方法の一つとしてそれらの相関関数を計算することが挙げられる。特に超対称性が部分的に保たれる状況においては「超対称局所化の方法」により厳密計算が可能になる場合がある。その方法において重要となる超対称な背景についての一般論の理解に努めた。以上は研究協力者の末武佑涼さんと共同で行った。3次元理論の線演算子を理解するために4次元理論の面演算子について知られていることからヒントを得ることも考えられる。4次元N=4超対称ゲージ理論の面演算子について数学的な立場から研究を行っているKIASのYaoxiong Wenさんを招待し、その分類や性質について学んだ。 また、サイバーグ双対性が数学において「射影双対性」と呼ばれるものと似たパターンを持っていることが以前から指摘されていた。これらの明確な関係を求めて、射影双対性の舞台である「射影幾何学」を理解することに着手した。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
まず、一般の表現のウィルソン線演算子を超弦理論のブレーン配位の上で実現する方法を理解することを目指していたが、それに行き詰まってしまったことが挙げられる。また、「超対称局所化の方法」において重要な超対称な背景は超重力理論の枠組みで記述されるが、研究代表者は超重力理論について素人同然であり、これについて基本的な事項を理解することから始めなければならなかった。それに想定以上の時間を要したことも遅れの原因となっている。
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Strategy for Future Research Activity |
まず、超局所化の方法を用いて3次元超対称ゲージ理論におけるBPS線演算子の相関関数を実際に計算する。特に、その収束条件から3次元理論のウィルソン線演算子に対し次数制限則を課すべきかどうかを正確に理解したい。また、特別な極限をとることにより2次元理論における超対称不変量と比較し、それらの関係を理解したい。それにより2次元理論における次数制限則が3次元理論に与える意味を理解したい。また、射影幾何学の理解をさらに進め、射影双対性とサイバーグ双対性の関係をまずは2次元理論において理解したい。これらを中心に『3次元N=4ミラー対称性から2次元(2,2)非可換ゲージ理論のミラー対称性を導出』、『3次元超対称ゲージ理論のサイバーグ双対性の元での線演算子の対応関係』を推し進める。
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