| Project/Area Number |
20K03796
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 13010:Mathematical physics and fundamental theory of condensed matter physics-related
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| Research Institution | Tsuyama National College of Technology |
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Principal Investigator |
島田 悠彦 津山工業高等専門学校, 総合理工学科, 准教授 (20751192)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2022: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2021: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2020: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 共形場理論 / 非相対論的共形場理論 / 共形ブロック / Schrodingerブロック / Dysonのブラウン運動 / ランダム行列理論 / Calogero模型 / 確率的Lotka-Volterra模型 / 非ユニタリ共形場理論 / ブートストラップ / Schrodinger代数 / 多変数合流型超幾何関数 / 非平衡相転移の普遍性 / 高分子とパーコレーション / 一般化超幾何関数 / 2次元ユニタリ系のミニマル系列 / 非ユニタリ無限振幅階層性 / 確率幾何模型 / 普遍性クラス / O(n)模型 |
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| Outline of Research at the Start |
共形スペクトラムは系の普遍性クラスを特徴づける指数と振幅の組からなる重要情報である。ユニタリ性に基づく3次元共形場理論の発展に伴い、すでに自己回避酔歩(SAW)のフラクタル次元を求めることができた。しかしSAW等の確率幾何模型では、一般に非ユニタリ性による虚数振幅補正が避けられない。
本研究ではSAWやIsing模型を、O(n)群由来の確率模型と見なして同じ枠組みで扱う。特に2次元や3次元の共形スペクトラムを解析計算・数値計算の両面から検証し、非ユニタリセクターを同定する。これにより、振幅階層構造などのスペクトラムの質的理解を経て、統計物理に遍在し重要となる非ユニタリ系の解析法の基礎を固める。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の過程で、非ユニタリ共形場理論のほか、時空異方的な固定点を調べたところ特に非相対論的共形場理論に関して厳密な結果を得ることができた。これまで指摘されていた乱流層流転移と2種生態系の類似について、2+1次元の相互作用するLotka-Volterra的粒子系の数値実験を行い相図を作成した。被食者の絶滅閾値近傍で有限時間スケーリング解析を行ったところ有向パーコレーション普遍性に属することが分かった。また2種共存相における位相差の振る舞いから3重臨界点の位置を推定できることが示唆された。
解析的には前年度にひきつづき「Calogero模型の場の理論」として得られる1係数族の非相対論的共形場理論を調べた。とくに共形場理論における共形ブロックの対応物としてSchrodinger対称性をもつ4点関数から構成した1+1次元のSchrodingerブロックについて新たな発見があった。Schrodingerブロックは3種の複比を変数に持つ多変数超幾何関数である。基本場の生成消滅が起きないよう時空図上に時間をそろえて台形配置をした場合、もとのSchrodinger対称性が明白でなくなるかわりに、Calogero模型の量子力学におけるpropagatorのある極限に帰着する。これはA1型ルート系に付随するBessel関数であり、2粒子のDysonブラウン運動の相関を記述する。このようにして非相対論的共形場理論とランダム行列理論の密接な関係が示唆された。特に、短時間および長時間極限においてWKB近似の考え方が有効であることが分かった。また粒子数の異なるセクターが漸化式により結びつき6点関数以降の計算ができるようになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の想定とは異なる発見が続いた。共形場理論における共形ブロックの対応物として前年度までに計算したSchrodinger対称性をもつ4点関数は、自由度の生成消滅が起きない時間領域に制限すると、退化極限として変形Bessel関数となる。このことを鍵にしてSchrodinger対称性をもつ多点相関関数がランダム行列理論におけるDysonのブラウン運動に生成消滅を許して一般化したものであるという発見があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究で端緒をとらえた非相対論的共形場理論とランダム行列理論の繋がりから発展する研究として以下のようなことを考えている。Dysonのブラウン運動における生成消滅を記述するために有効な粒子数に関する漸化的留数積分を定式化し、Schrodinger対称性をもつN点関数を調べて新しい演算子展開を得る。以上の情報を用いてブートストラップ法の基礎を築き非平衡相転移を記述する理論に制限を与える。
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