| Project/Area Number |
20K11688
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 60020:Mathematical informatics-related
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
山田 修司 新潟大学, 自然科学系, 教授 (80331544)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田中 環 新潟大学, 自然科学系, 教授 (10207110)
齋藤 裕 新潟大学, 教育・学生支援機構, 特任准教授 (50806057)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 数理計画 / 大域的最適化 / DC計画法 / KKT条件 / パラメトリック最適化 / DC計画 / 非線形計画 / dc 計画 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は，変数の数が1000以上の大規模標準DC2次計画問題に対するKKT点列挙アルゴリズムの高速化を目的としている。従来のアルゴリズムは，変数の数や反復回数に依存して保管データ量が増加するため，大規模な問題に対しては計算速度が著しく低下することや，求められた近似値と真の最適値の差を評価することができないことが知られている。このため，本研究では，パラメトリック最適化法を用いて対象問題の部分問題列を生成し, 各部分問題のKKT点を列挙することで対象問題の近似解と近似値を求め，得られた近似値と真の最適値との差が許容誤差内に収まる大域的最適化アルゴリズムの高速化を目的としている。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，大規模標準DC2次計画問題に対する大域的最適化アルゴリズムの高速化を目的としている。従来，DC計画問題に対しては，凸多面体近似法や強力な局所的最小解探索法であるDCAを導入した反復解法が提案されている。しかしながら，これらの手法は，変数の数や反復回数に依存してアルゴリズムの実行に必要なデータ量が増加するため, 大規模な問題に対しては計算速度が著しく低下することが知られている。このため，本研究では，KKT点列挙アルゴリズムを応用し，変数の数が1000以上の大規模標準DC2次計画問題に対して高速に大域的最適解の近似解を求めることができるアルゴリズムの開発を目指している。また，パラメトリック最適化法，ラグランジュ乗数に対する分枝限定法，及びKKT点列挙アルゴリズムを組み合わせることで，最適値との差が許容誤差内に収まる目的関数値をもつ近似解を求めることができるように，アルゴリズムの計算精度の向上を目指している。
本研究では、対象問題を直接解くことが困難であるため、パラメトリック最適化法を導入し、凸2次最大化問題を逐次的のKKT点を逐次的に列挙することで対象とする問題の大域的最適解の近似解を求めるアルゴリズムの構築を目指している。そこで、これまでに本研究では、逐次的に生成される凸2次計画問題の最適性条件を解析し、KKT点を列挙するアルゴリズムの開発に成功している。また、この研究成果を応用し、分数2次計画問題に対するKKT点列挙アルゴリズムの開発にも成功している。さらに、この研究成果を応用し，分数計画問題に対する新たな大域的最適化手法も開発している。さらに. 本研究で開発した手法を応用し，大規模建設工事のスケジューリング問題に対して，本研究の成果を応用した大域的収束性をもつ最適化アルゴリズムの構築を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、対象問題を直接解くことが困難であるため、パラメトリック最適化法を導入し、凸2次最大化問題を逐次的のKKT点を逐次的に列挙することで対象とする問題の大域的最適解の近似解を求めるアルゴリズムの構築を目指している。このため、パラメトリック最適化法に基づいて変換された凸2次最大化問題のKKT点を列挙するアルゴリズムの開発が必要になるが、本研究ではこれまでに、変換された凸2次最大化問題の最適性条件を解析し、1変数の区分的な凸関数で与えられる非線形方程式の解を列挙することで、変換された凸2次最大化問題のKKT点を列挙できることを数学的に証明している。また、この結果に基づくKKT点を列挙するアルゴリズムの開発し、そのアルゴリズムで生成される暫定解列の任意の集積点は変換された凸2次最大化問題のKKT点であることを数学的に証明してい
る。さらに、分数2次計画問題は、パラメトリック最適化法を導入することで、DC2次計画問題に変換できるため、本研究の成果を応用し、分数2次計画問題に対するKKT点列挙法を導入した大域的最適化アルゴリズムを開発し、そのアルゴリズムが大域的収束性を持つことを数学的に証明している。その上、対象問題から生成されるラグランジュ関数のリプシッツ条件を用いてパラメトッリク最適化のパラメータ更新率を向上させ、数値実験においてアルゴリズムの高速化に成功している。これらの成果は、2023年に開催された不動点定理と最適化に関する第11回アジア会議（パタヤ、タイ）や変分解析と最適化の応用に関する国際会議（アリーガル、インド）で発表した。さらに. 本研究で開発した手法を応用し，大規模建設工事のスケジューリング最適化アルゴリズムの構築を進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の目標は、大規模DC2次計画問題や分数2次計画問題に対して開発したアルゴリズムの収束性を向上させることである。このため、パラメトリック最適化法の導入によりアルゴリズムの各反復で解かれる凸２次最大化問題の最適値関数を解析し、パラメータ更新方法の改善を図る。また、対象問題から生成されるラグランジュ関数のリプシッツ定数を用いてパラメトリック最適化手法のパラメータ更新率の向上させたアルゴリズムの高速化を行う。その上、開発したアルゴリズムを計算機上で実行する際に必要となるデータ量を削減するために、DC2次計画問題の制約関数を加重和した関数のヘッセ行列を精度よく逐次的に近似するための手法の開発を行う。これにより、本研究で開発したアルゴリズムを実行するために保管しなければならないデータ量を減少させることが可能となり、従来法よりも大規模な問題に対して大域的最適解の近似解を求めることが可能となり、計算速度の向上も期待できる。さらに、有効解集合上での凸関数最小化問題に対して、これまでに申請者が開発した外部近似法に基づく大域的最適化手法に本研究で開発したアルゴリズムを導入し、従来法より精度の高い新たな逐次近似解法の構築を目指す。その上、本研究成果を応用し、捕捉者を伴う捜索ゲームの効用値の計算及びDEAにおけるクロス集計効率値の計算に対するアルゴリズム、及び大規模建設工事のスケジューリング最適化アルゴリズムの開発を行う。
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