Development of a hierarchical parallel numerical algorithm for saddle point problems
| Project/Area Number |
20K11840
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 60090:High performance computing-related
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
多田野 寛人 筑波大学, 計算科学研究センター, 助教 (50507845)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
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| Keywords | 鞍点型連立一次方程式 / 階層並列型数値解法 / ブロッククリロフ部分空間反復法 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では、鞍点型連立一次方程式に対する階層並列性をもつ数値解法を開発する。提案手法の計算主要部は、複数右辺ベクトルをもつ連立一次方程式の求解部分である。この方程式の求解部分の性能評価を行うとともに、求解に用いるブロッククリロフ部分空間反復法の性能向上、前処理法についても研究を進める。また、並列計算環境において提案手法の実装を行い、提案手法が並列計算環境に対して親和性の高い解法であることを示す。さらに、応用分野における鞍点型連立一次方程式に対して提案手法を適用し、その有効性を実証する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
鞍点型と呼ばれる連立一次方程式は，2行2列のブロック行列を係数行列にもつ連立一次方程式であり，同方程式は様々な分野において現れる．係数行列の左上ブロックの行列が良条件であったとしても，右上，左下ブロックの行列の列数，行数が多くなると，クリロフ部分空間反復法の収束性が悪化し，求解が困難となる．
この状況を打破するために，我々は同方程式のブロック構造を用いた数値解法（以下，提案法）を構築した．提案法では同方程式を直接解くのではなく，左上ブロック行列を係数行列とする複数右辺連立一次方程式の求解を介し，その解行列を用いて鞍点型連立一次方程式の解ベクトルを求める．この複数右辺連立一次方程式は，解くべき鞍点型連立一次方程式よりも求解が容易であり，ブロッククリロフ部分空間反復法を適用することで計算時間，反復回数の両面で効率的に求解が可能である．さらに，各右辺ベクトルは互いに依存関係がないことから分割が可能であるため，この性質を利用することで同時求解可能な複数の方程式に分割でき，分割された各方程式も並列に求解できる．よって，提案法は階層型の並列性をもつ．
2022年度は特に，提案法の高速化を行うために，GPUクラスタにおける提案法の並列コード実装，及び性能評価を行った．複数右辺連立一次方程式の右辺ベクトルはMPIを用いて分割され，分割された各方程式は各MPIプロセスで解かれる．本研究では各MPIプロセスにGPUを1台割り当て，GPUで複数右辺連立一次方程式の求解を行った．また，鞍点型連立一次方程式の解ベクトルの計算には小規模連立一次方程式を解く必要があるが，この部分もGPUで計算することで高速化を図った．性能評価は筑波大学計算科学研究センターのスーパーコンピュータ「Cygnus」の計算ノードを最大56ノード利用して行い，GPU版コードはCPU版コードよりも十分高速であることを確認した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度掲げた2022年度の本研究課題の目標は，「鞍点型連立一次方程式の階層並列型数値解法のGPUによる高速化」であった．研究実績の概要でも述べたとおり，2022年度は同方程式に対する並列計算コードのGPU実装を行い，筑波大学計算科学研究センターのスーパーコンピュータ「Cygnus」で性能評価を行った．その結果，GPU版コードはCPU版コードよりも十分高速であることが確認されており，研究が予定通り進んでいることから「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度の研究を通して，鞍点型連立一次方程式の係数行列の右上，左上ブロックの列数，行数が多い場合は，同方程式の解ベクトル計算で必要となる小規模連立一次方程式の求解部分がボトルネックになり得ることが明らかになってきた．提案法の更なる高速化のためにはこの部分をいかに効率よく計算するかが重要になってくる．今後はアルゴリズム面，高性能計算面の両面から検討を行い，提案法の高速化に向けて研究を推進する．
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Report
(3 results)
Research Products
(15 results)
