Representations and Combinatorial Games related to d-Complete Posets
| Project/Area Number |
20K14277
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
入江 佑樹 東北大学, 数理科学連携研究センター, 助教 (10834020)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2020)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 組合せゲーム理論 / 組合せ論的表現論 / d完全ポセット / マヤゲーム / Sprague-Grundy関数 |
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| Outline of Research at the Start |
表現論と組合せゲーム理論のつながりを解明し、双方の分野に新たな研究の方向性をあたえることを目指す。
表現論は、数学自体に大きな影響をあたえてきただけでなく、物理学などの他分野へ橋を渡してきた。一方の組合せゲーム理論は離散数学の一分野であり、チェスや将棋といった一般的に遊ばれているゲームも研究対象に含む。1970年代に佐藤幹夫によって「表現と組合せゲームは内部的につながっている」という大胆な予想がされ、近年、研究代表者による研究から実際に深いつながりがあることが分かってきた。本研究では、表現とゲームのつながりを解明し、両分野に新たな研究の方向性をあたえることを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
表現論と組合せゲーム理論のつながりの解明を目指し、マヤゲームと対称群の表現周辺の研究を進めている。令和２年度の研究から、Sprague-Grundyの定理のｐ進法における類似物を得た。これにより、マヤゲームと一般化対称群の表現の関係が明らかになった。
組合せゲーム理論では２進法が重要な役割を果たすことが知られている。特に組合せゲーム理論における最も基本的な定理の一つである、Sprague-Grundyの定理により、ゲームの分離和は２進法を使って解析できる。その一方でｐ進法に関する結果は、これまでほとんど知られていなかった。ここで本研究課題の出発点となった、マヤゲームと対称群の表現の関係を発見したきっかけは、ｐ進法版のマヤゲームと呼べるものを構成できたことにある。本研究課題ではこのマヤゲームと対称群の表現に関する結果の一般化を目指しているため、組合せゲーム理論におけるｐ進法の様子を知ることが重要になっている。以上の背景から令和２年度の研究では、組合せゲーム理論においてｐ進法と関係するゲームがどのように現れるかについての研究を行った。その成果として、上述のSprague-Grundyの定理のｐ進法における類似物を得た。この結果はｐ進法と関係するゲームについての初めての一般的な結果といえ、組合せゲーム理論に大きな発展をあたえることが期待される。さらにこの結果を用いることで、マヤゲームと一般化対称群の表現の関係が明らかになった。なお本結果は学術論文としてまとめ、投稿済みである。またこれ以外にも、マヤゲームと関連するゲームについての結果が得られている。
令和３年度は、これまでの研究で得られた知見を元に、ゲームと表現との関係の研究、特に表現の側面からの研究を進める。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Sprague-Grundyの定理のｐ進法における類似物が得られ、組合せゲーム理論に関しては十分な進展があった。この結果からゲームと表現の新たなつながりも得られたが、（本研究課題の出発点である）マヤゲームと対称群の表現の研究で鍵となった、次数がｐと素な表現に関する結果の拡張ができていないことが原因で、ｄ完全ポセットに関連する表現についての著しい成果には至っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の通り、対称群とマヤゲームの研究で鍵となった結果の拡張が重要なため、これに取り組み、表現論の側面からの研究を進める。
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Report
(1 results)
Research Products
(2 results)
