アフィン量子群のレベル・ゼロ表現論と幾何学的佐武対応

Research Project

Project/Area Number	20K14278
Research Category	Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Gunma University
Principal Investigator	石井基裕群馬大学, 共同教育学部, 准教授 (00732463)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000) Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000) Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords	量子群 / レベル・ゼロ表現 / 端ウェイト加群 / 結晶基底 / アフィン量子群 / アフィンワイル群 / レベルゼロ表現 / 量子ブリュアグラフ / 半無限ブリュア半順序 / ボット・サムエルソン多様体 / 柏原中島盤 / アフィン・リー環 / 幾何学的佐武対応 / アフィン建物
Outline of Research at the Start	アフィン・グラスマン多様体のシューベルト部分多様体に付随するボット・サムエルソン多様体のコホモロジー群には、アフィン・リー環の有限次元レベル・ゼロ表現の構造が定まることが予想される。これは、簡約代数群の表現論における幾何学的佐武対応の類似であると考えることができる。本研究では、上記予想の証明、結晶基底による上記予想の組合せ論版の定式化・証明、およびそのレベル・ゼロ表現論への応用について取り組む。
Outline of Annual Research Achievements	（１）本研究の課題は、アフィン・グラスマン多様体のシューベルト部分多様体に付随するボット・サムエルソン多様体のコホモロジー群において、アフィン・リー環のレベル・ゼロ表現の構造を定め、その構造を解析することである。また、そのようにして得られるレベル・ゼロ表現の結晶基底の構造を、ギャラリー（アフィン建物の元）を用いて組合せ論的に記述することである。本研究の目的の遂行にあたり、改めて研究全体を俯瞰してみたところ、補うべき基礎的概念や道具立てを明確にするに至った。本年度は、その基礎的概念の構築に取り組むことができた。（２）一般の型の対称化可能なカッツ・ムーディ・リー環に付随する量子群上の端ウェイト加群の結晶基底に対するパス模型による実現に関する研究を行った。本研究で考察している「パス模型」とは、「端ウェイト加群の端ウェイト元を通るワイル群軌道からウェイト格子へのワイル群同変な写像」に付随して定義される柏原結晶であり、これはラクシュミバイ・セシャドリ・パスの一般化と見なすことができるものである。パス模型による端ウェイト加群の結晶基底の実現を完成させるためには、端ウェイト加群の結晶基底が相似性を有することを示す必要がある。本年度は、改変型 (modified) 量子群の結晶基底や端ウェイト加群の結晶基底に対する既存の組合せ論的実現をもとに、それらのテンソル積の性質を調査することを通して、相似性の有無を追求したが、決定的な情報を得ることはできていない。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason （１）ボット・サムエルソン多様体のコホモロジー群においてレベル・ゼロ表現の構造を定めるという本研究の目的を遂行するにあたり、基礎的概念や道具立ての構築について新たに課題が見つかり、その解決のために時間を費やしたため。（２）一般の端ウェイト加群及びその結晶基底のテンソル積の構造に関する情報を十分に得ることができていないため。
Strategy for Future Research Activity	（１）新たに課題として見つかった基礎的概念や道具立ての構築を進めながら、レベル・ゼロ表現の盤による組合せ論的実現に関するこれまでの研究結果も踏まえ、ボット・サムエルソン多様体の設定で当初の計画に沿って議論を進めていく。（２）単項式による実現等を用いて、引き続き結晶基底のテンソル積の構造について調査を進める。