| Project/Area Number |
20K14303
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐藤 謙太 九州大学, 数理学研究院, 助教 (10849326)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | Boundedness / weak Fano / Seshadri定数 / 極小モデル理論 / 正標数 / klt特異点 / lc特異点 / Bertiniの定理 / 双対グラフ / Q-Gorenstein / 変形理論 / 強F正則 / 混標数 / 代数幾何学 / 可換環論 / 特異点 / 大域的F正則多様体 / Fano多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
代数多様体の分類は，代数幾何学における主要な目的の一つであり，他分野への応用という観点でも非常に重要な問題である．標数0の代数幾何学において，代数多様体を双有理幾何的な観点から分類する手法として，極小モデル理論が盛んに研究されている．Fano多様体は，極小モデル理論において自然に現れる非常に重要な代数多様体で，その性質を理解することは極小モデル理論の発展に不可欠である．
Fano多様体の持つ著しい性質の一つに，その有界性がある．これは，次元を固定した複素数体上のFano多様体全体の集合は，有限個の平坦族に分類されるという性質である．本研究では，この結果の正標数化を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
正標数の射影代数多様体に関する種々の一様有界性を解明することを目標に，局所大域双方の視点から研究を行っている．
今年度私は, いくつかの仮定を満たす正標数の3次元Fano多様体の族が有界であることを証明した. その証明の鍵となったのは, Seshadri定数と呼ばれる不変量の一様的な下限の存在である. Seshadri定数とは, 与えられた豊富な因子の正値性を数値的に測る量であり, その値が十分に大きい場合には, この因子を用いて多様体を双有理変形できることが知られている.
特にFano多様体の反標準因子のSeshadri定数を下から評価することで, もっと有界性を示しやすい多様体に変形することができる.
標数0においては, Ein-K\"{u}chle-Lazarsfeldらによって, 豊富な因子のSeshadri定数は常に多様体の次元の逆数で下から抑えられることが知られていた.
しかし, 正標数において彼らの手法はまったく通用せず, 2次元の場合ですら未解決だった. 私は2次元及び3次元の場合に, いくつかの仮定のもとでSeshadri定数の下限を与えることに成功した. 上述したように, この下限の存在を用いると, Fano多様体の族が「双有理有界」, すなわち, 各多様体を双有理同値で取り換えられると有界であることが示される. 最後に, 双有理で取り換えた部分を考慮する必要があるが, これは近年示された不完全体上の3次元極小モデル理論を使うことで解決した.
これらの結果をまとめてプレプリントとして発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題では, 正標数のFano多様体の有界性を解明することを最終目標とし研究を行っている. この問題は特異点つきの場合に関しては, 3次元の場合ですらほとんど何もわかっていなかった. 今年度得られた結果は, いくつかの仮定は必要とするものの, 特異点付きの3次元Fano多様体の有界性を示しており, この問題に関する大きな前進であったと思われる.
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| Strategy for Future Research Activity |
まず, 今年度の結果で課したいくつかの仮定を弱めることができないか調べていきたい. 次に, 証明において重要な役割を果たしたSeshadri定数の下限に関しても引き続き研究していきたい.
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