反ド・ジッター空間における曲面論と普遍タイヒミュラー理論との相互的研究

• Project/Area Number: 20K14306
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 藤野 弘基 名古屋大学, 高等研究院(多元), 特任助教 (90824037)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
• Keywords: 極小曲面 / 極大曲面 / タイヒミュラー空間 / 調和写像 / 反ド・ジッター空間 / ボンサンテ・シュレンカー対応 / 光的直線 / 普遍タイヒミュラー空間 / 擬等角写像

Outline of Research at the Start

本研究の目的は、反ド・ジッター空間内の極大曲面の成す空間と普遍タイヒミュラー空間との間の一対一対応（Bonsante-Schlenker、2010）を用いて双方の空間を調べることである。例えば与えられた極大曲面に対しその等長類がどの程度存在するか、対応するリーマン面の変形族を調べ明らかにする。これは曲面論における重要な問題をタイヒミュラー理論の応用として解決するものである。逆に、無限次元タイヒミュラー空間特有の退化現象について曲面論を用いた解析を行うことも目指す。
本研究は、タイヒミュラー理論と曲面論、それぞれの分野で培われてきた強力な研究手法を他方の研究分野に相互的に応用しあうものである。

Outline of Annual Research Achievements

反ド・ジッター空間における曲面論と普遍タイヒミュラー空間論との相互的研究の一つとして、リーマン面がタイヒミュラー空間内でどのように退化するか、ボンサンテ・シュレンカー対応を用いた可視化を試みた。ボンサンテ・シュレンカー対応は「タイヒミュラー空間」と「三次元反ド・ジッター空間内のある種の極大曲面全体」との間の一対一対応である。これにより抽象的なリーマン面が、反ド・ジッター空間という三次元（すなわち可視化可能な）時空内の曲面に置き換わるため、退化の様子を可視化でき（収束したとすれば）退化極限を実際に目で見ることが可能となる。
本研究では上記研究の基礎研究として、平坦空間（時空）内の平均曲率零曲面について調べることに終始した。三次元ユークリッド空間内の極小曲面と三次元ミンコフスキー空間内の極大曲面との古典的な双対対応を出発点として、様々な空間（時空）を跨ぐ曲面の変形を定義し、その変形に対しクラスト型の定理を導いた。また変形によって保たれる（変化する）曲面の対称性や境界挙動についても詳しい結果が得られた。これらの結果は、反ド・ジッター空間の場合にも空間（時空）を跨いだ曲面の対応を観察することの有用性を示唆しており興味深い。また境界挙動の研究の応用として、幾つかの空間内の平均曲率零曲面に対し、ある種の特異性を持った境界に関する曲面の鏡像原理を証明した。これによって特異性を持った三重周期曲面を容易に構成できるようになった。
最終年度では空間（時空）を跨いだ変形に付随する対称性の対応について、より一般の変形（グルサ型変換）に議論を拡張できないか調べた。結果として幾何的な議論を用いて一般化できたが、これまでの研究を踏まえると（調和）関数論にはより本質的で深遠な結果が見つかると期待できる。従って（調和）関数論の発展及び非平坦空間（時空）研究の新たな足掛かりが得られたとも考えられる。

Research Products

• [Journal Article] Duality of boundary value problems for minimal and maximal surfaces (2023)
  • Author(s): Akamine Shintaro、Fujino Hiroki
  • Journal Title: to appear in Communications in Analysis and Geometry Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Reflection Principles for Zero Mean Curvature Surfaces in the Simply Isotropic 3-space (2022)
  • Author(s): Akamine Shintaro、Fujino Hiroki
  • Journal Title: Results in Mathematics Volume: 77 Issue: 4
  • DOI: 10.1007/s00025-022-01718-0
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Extension of Krust theorem and deformations of minimal surfaces (2022)
  • Author(s): Akamine Shintaro、Fujino Hiroki
  • Journal Title: Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -) Volume: - Issue: 6 Pages: 2583-2601
  • DOI: 10.1007/s10231-022-01211-z
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Reflection principle for lightlike line segments on maximal surfaces (2020)
  • Author(s): Akamine Shintaro、Fujino Hiroki
  • Journal Title: Annals of Global Analysis and Geometry Volume: 59 Issue: 1 Pages: 93-108
  • DOI: 10.1007/s10455-020-09743-4
  • Peer Reviewed
• [Presentation] 平均曲率零曲面論と調和関数論II (2023)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: トポロジープロジェクト研究 集会「接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺」
• [Presentation] Extension of harmonic function beyond discontinuous boundary values (2022)
  • Author(s): Fujino Hiroki
  • Organizer: Applications of Harmonic Maps and Higgs Bundles to Differential Geometry, RIMS Workshop (Type A)
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 単葉調和関数論とKrust の定理の拡張 (2022)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: 広島大学トポロジー・幾何セミナー
• [Presentation] Krust の定理の拡張と極小曲面の変形について (2022)
  • Author(s): 赤嶺新太郎,藤野弘基
  • Organizer: 日本数学会2022年度秋季総合分科会
• [Presentation] 不連続点を越えた調和関数の拡張 (2022)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: 第65回函数論シンポジウム
• [Presentation] 極小曲面論における鏡像の原理の証明について (2022)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: 第2回複素解析学研究交流会
• [Presentation] Univalence of harmonic functions and Krust theorem (2022)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: Riemann surfaces and related topics - In memory of Professor Yoichi Imayoshi
• [Presentation] 極小曲面の様々な変形に対する Krust 型定理 (2021)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: ポテンシャル論セミナー
• [Presentation] Extension of Krust Theorem and Deformations of Minimal Surfaces (2021)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: 静岡複素解析幾何セミナー
• [Presentation] Extension of Krust Theorem and Deformations of Minimal Surfaces (2021)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: 多元数理科学研究科セミナー
• [Presentation] 調和関数の不連続境界値における鏡像の原理と曲面論への応用 (2021)
  • Author(s): 藤野弘基
  • Organizer: 大阪市立大複素解析セミナー
• [Presentation] 極大曲面の光的線分に関する鏡像の原理について (2021)
  • Author(s): 赤嶺新太郎, 藤野弘基
  • Organizer: 日本数学会 2021年度年会
• [Presentation] 単葉調和関数および極小曲面・極大曲面に対する 境界値問題の対応 (2020)
  • Author(s): 藤野 弘基, 赤嶺 新太郎
  • Organizer: 2020年度秋季日本数学会
• [Presentation] 極小曲面論におけるベルンシュタインの問題と単葉調和関数論 (2020)
  • Author(s): 藤野 弘基
  • Organizer: 第2回 複素解析学オンライン研究交流会
  • Invited
• [Presentation] 極大曲面に対する光的線分境界値問題の可解性について (2020)
  • Author(s): 藤野 弘基
  • Organizer: 大阪大学トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] 複雑な曲面の作り方 (2020)
  • Author(s): 藤野 弘基
  • Organizer: 第22回 YLCセミナー
  • Invited
• [Presentation] 極大曲面の境界上に現れる光的線分に対する 関数論からの考察 (2020)
  • Author(s): 藤野 弘基
  • Organizer: 研究集会「多様体上の微分方程式」第22回
  • Invited