Study of properties of solutions to geometric higher order variational problems
| Project/Area Number |
20K14341
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 達哉 東京工業大学, 理学院, 准教授 (40838744)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2020: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 曲げエネルギー / エラスティカ / 弾性流 / p-エラスティカ / 距離関数 / 弾性結び目 / Willmore エネルギー / 曲率 / 平均曲率 / 幾何学的不等式 / 変分法 / 変分問題 / 高階問題 / 弾性エネルギー |
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| Outline of Research at the Start |
曲線や曲面の「曲がり具合」を測る量として曲げエネルギーと呼ばれる量がある．適当な曲線もしくは曲面のクラスの中でこのような曲げエネルギーを最小化する問題を考えると，その解の形状は，下敷きのたわみ方や赤血球の凹みなど，現実の様々な物体の形状をよく再現することが知られている．本研究ではこのような数理モデルに対し，数学解析により解の性質，特に一意性や形状に関する情報を調べることを目標とする．
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．吉澤研介氏との共同による平面 p-elastica の研究を継続して行った。昨年度の段階で平面 p-elastica (p>1) の臨界点のレベルにおける完全な分類が得られていた。本年度はその研究を境界値問題に応用し、pinned boundary condition の下で臨界点およびエネルギー最小解の完全な分類を行った。またその帰結として、p-曲げエネルギーに対する Li-Yau 型不等式や p-弾性ネットワーク問題の最小解の存在定理を得た。更に続く研究において、平面曲線の曲率に依存する非常に一般的なクラスの変分問題に対し、エネルギー最小解や極小解（安定解）が満たすある種の最適な必要条件を得た。この理論は特に p-elastica に直接応用可能であり、特に重要な帰結として一般の closed p-elastica および非退化な pinned p-elastica の二つの場合において、臨界点の安定性の完全な分類を行った。
２．剱持智哉氏との共同研究により、弾性流と呼ばれる四階放物型幾何学流に対して、初期時刻において上半平面に含まれているがしばらく経つと下半平面に含まれるような「移行解」の存在を考察した。二階放物型の典型例である曲線短縮流には最大値原理があるため、そのような解は現れない。本研究では、開曲線に対する長さ保存弾性流に対し、移行解が存在することを初めて証明した。また数値解析により、より広い枠組みで多くの移行解が存在し得ることを発見した。
３．田中實氏との共同研究により、一般の Finsler 多様体の一般の閉部分集合からの距離関数の特異点集合が、DC (delta-convex) 超曲面の可算和と余次元２以上の除外集合の和集合で表示できることを示した。これは通常の Euclid 空間においても新しい結果であり、また DC 正則性は最適である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定と方向性自体は変わって来ているが、新しい課題も多く見つかり、全体として研究成果自体は非常に順調に得られている。特に p-elastica の研究については、昨年度の時点で得られた結果が当初の期待通り重要な技術的基盤となり、その後の研究を強く推進している。また弾性流や距離関数の研究については当初は全く予定していなかった成果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画も意識しつつも、現在得られた新たな成果から生まれた研究課題にも取り組み、特に安定性理論を軸に研究を行う計画を立てている。
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Report
(3 results)
Research Products
(30 results)
