リーマン多様体上の最適化理論の展開とその大規模問題への応用
Project/Area Number |
20K14359
|
Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
|
Allocation Type | Multi-year Fund |
Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
|
Research Institution | Kyoto University |
Principal Investigator |
佐藤 寛之 京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (80734433)
|
Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
|
Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
|
Keywords | 最適化 / リーマン多様体 / 共役勾配法 / 指数写像 / レトラクション / グラスマン多様体 / 最急降下法 / リーマン幾何学 / 応用数学 / 数理工学 |
Outline of Research at the Start |
人工知能・機械学習などに現れる問題に対して,リーマン多様体上の最適化が有効であることが広く認識され始めており,そうしたビッグデータを伴う大規模な最適化問題を効率よく求解できるアルゴリズムを発展させることが重要である.本研究では,大規模な最適化問題に有効な共役勾配法や確率的勾配法をリーマン多様体上に拡張し,その収束性や実用性を,理論的な証明と数値的な実証によって保証する.さらに,こうした手法を応用し,機械学習,制御工学,数値線形代数など,他分野の諸問題に対する新しい求解アルゴリズムを開発する.
|
Outline of Annual Research Achievements |
令和4年度は,リーマン多様体上の最適化問題に対するアプローチとして,特に共役勾配法に関する2編の論文を発表した. 一つは,リーマン多様体上の共役勾配法の一般的な枠組みについての研究である.この研究では,これまで様々に研究されてきたユークリッド空間やリーマン多様体上の共役勾配法を統一するような一般的な枠組みを与え,適切かつ自然な仮定の下で提案アルゴリズムの大域的収束性を詳細に解析した.また,数値実験においては,2つのグラスマン多様体の直積により構成される500万次元を超える多様体上の最適化問題や,リヤプノフ方程式の解法として一定サイズの正定値対称行列全体からなる多様体上の最適化問題を扱い,大規模問題に対する提案手法の有効性の実証も行った. もう一つの研究では,ユークリッド空間上の共役勾配法の中でも注目を集めている Hager-Zhang (HZ) 型の共役勾配法について,そのリーマン多様体への拡張を詳しく議論した.先述の共役勾配法の一般的な枠組みについての研究では,多様体上の点列の更新の際にレトラクションと呼ばれる写像を用い,探索方向の計算の際にはある接空間から別の接空間への一般的な写像を用いた.一方,この研究ではそれらの特別な場合として,点列の更新では指数写像を用い,探索方向の計算ではその微分を用いる手法を提案した.また,リーマン幾何学におけるガウスの補題を効果的に用いることで提案手法の大域的収束性を証明した.さらに,レイリー商最小化問題や無向グラフの安定数を求める問題を超球面上の最適化問題と捉え,数値実験によりこれらの問題を解くことで,提案手法が既存手法より優れた性能を発揮することを実証した. これら2つの研究はいずれも,リーマン多様体上の大規模な最適化問題の求解に大きく貢献するものである.
|
Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べた通り,令和4年度はリーマン多様体上の共役勾配法についての研究を大きく進展させることができた.特に,今年度の大きな目標であった,共役勾配法の一般的な新しいクラスについての研究を完成させることができた.共役勾配法は1次の手法であり,問題の規模が大きくなっても1反復の計算が複雑になりすぎず,実用的である.したがって,当初の研究実施計画通り,リーマン多様体上の大規模な最適化問題への応用を見据えた理論を展開することに成功している.
|
Strategy for Future Research Activity |
令和5年度は,n次元ユークリッド空間においてp-ノルムを用いて定義される単位超球面上の最適化問題についての研究を,論文として発表できる見込みである.この理論は非負主成分分析や正則化項付き最適化問題に対する新たなアプローチとなり得るもので,その実用的な応用も見据えた研究の推進を目指す. さらに,シンプレクティック固有値問題などへの応用があるシンプレクティックシュティーフェル多様体上の最適化問題についても,その効率的な解法の研究を進める計画である.
|
Report
(3 results)
Research Products
(31 results)