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Construction of quantum walk model in Max-plus algebra and its application

Research Project

Project/Area Number 20K14367
Research Category

Grant-in-Aid for Early-Career Scientists

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
Research InstitutionThe University of Fukuchiyama

Principal Investigator

渡邉 扇之介  福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
KeywordsMax-plus代数 / 量子ウォーク / 固有値 / 直交性 / 相関付きランダムウォーク / セルオートマトン / 交通流モデル / 固有ベクトル / 超離散系 / 有向グラフ
Outline of Research at the Start

本研究は,現在までに構築されてきた量子コンピュータの基礎理論の1つである量子ウォークの理論をmax-plus代数という特殊な代数の上で再構築し,そこで得られた結果がもたらす量子ウォークへの貢献を調べるというものである.Max-plus代数は,超離散化と呼ばれる手法を施すことで得られる代数系で,元の方程式等が持つ“極端な”性質を浮き彫りにすることが経験的に知られている.本研究はこの超離散化によって得られるmax-plus代数を用いて量子ウォークの本質に迫り,量子ウォークとmax-plus代数のどちらとも強い関係性を持つセルオートマトンやグラフ理論への応用を目指す.

Outline of Annual Research Achievements

量子ウォークモデルのmax-plus代数における類似物の構成については,その挙動や得られる状態の特徴量の視点で適切なモデルが得られたと判断している.しかし,量子ウォークの時間発展を記述する行列はユニタリー行列であることに対し,構成したモデルにそのような特徴はない.Max-plus代数においてはユニタリー性に対応する性質,特に直交性を議論することが困難である.2022年度において,max-plus代数におけるベクトルの直交性に関する基礎理論の構築を目指し,2023年度にも引き続き研究を進めることで,max-plus代数における対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルが独立であり,さらに直交することを示した.この結果についてはLinear and Multilinear Algebraに掲載された.
また,2022年度からスタートしているmax-plus代数における量子ウォークモデルの応用に関する研究では,初歩的な量子ウォークとしても知られる相関付きランダムウォークの時間発展から得られる離散方程式に対して,連続極限を取ることで得られる方程式を導出した.相関付きランダムウォークは確率的な遷移をするモデルであるが,その確率を変化させることで3つのよく知られる微分方程式が得られることがわかった.この結果については2024年度に国際会議での発表と論文誌への投稿を計画している.相関付きランダムウォークについては,2022年度にmax-plus代数との関連を述べており,通行を制御された交通流モデルへの応用が可能であることを示している.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初の計画を遂行するために必要なmax-plus代数における基盤研究に時間がかかり,量子ウォークに関連する応用研究の進捗がやや遅れている.また,2023年度に第三子が誕生したことで研究成果の発表,特に国際会議への参加が難しかった.

Strategy for Future Research Activity

2023年度では,量子ウォークとグラフ上のゼータ関数の関係のmax-plus類似の構築を目指したが,グラフの隣接行列の行列式を用いた固有多項式と固有値やグラフの閉路を考えることが重要なグラフ上のゼータ関数をmax-plus代数で考えるためには多くの障害があり,基礎理論の整備が多く必要となる.よって,2024年度は通常2次元で議論される量子ウォークの3次元版のmax-plus代数における類似物を構成することを目指す.ここでは,2023年度の成果であるmax-plus代数におけるベクトルの直交性の結果が役に立つと考えている.

Report

(4 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2024 2023 2021 2020

All Journal Article (4 results) (of which Peer Reviewed: 4 results,  Open Access: 2 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 2 results)

  • [Journal Article] Independence and orthogonality of algebraic eigenvectors over the max-plus algebra2024

    • Author(s)
      Nishida Yuki、Watanabe Sennosuke、Watanabe Yoshihide
    • Journal Title

      Linear and Multilinear Algebra

      Volume: Online Issue: 1 Pages: 1-19

    • DOI

      10.1080/03081087.2024.2316781

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Generalized discrete and ultradiscrete Burgers equations derived through the correlated random walk2023

    • Author(s)
      Fukuda Akiko、Segawa Etsuo、Watanabe Sennosuke
    • Journal Title

      Journal of Difference Equations and Applications

      Volume: 29 Issue: 1 Pages: 84-101

    • DOI

      10.1080/10236198.2023.2172969

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Limit theorem of the max-plus walk2021

    • Author(s)
      Watanabe Sennosuke, Fukuda Akiko, Segawa Etsuo, Sato Iwao
    • Journal Title

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      Volume: B87 Pages: 125-133

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A walk on max-plus algebra2020

    • Author(s)
      Watanabe Sennosuke、Fukuda Akiko、Segawa Etsuo、Sato Iwao
    • Journal Title

      Linear Algebra and its Applications

      Volume: 598 Pages: 29-48

    • DOI

      10.1016/j.laa.2020.03.025

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Max-plus代数上の量子ウォークモデル2023

    • Author(s)
      渡邉扇之介
    • Organizer
      大阪組合せ論セミナー
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Ultradiscrete Burgers Cellular Automata derived through the Correlated Random Walk2023

    • Author(s)
      渡邉扇之介,福田亜希子,瀬川悦生
    • Organizer
      第1回福知山数理・データサイエンス研究会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] Analysis of traffic flow models by triangulation of min-plus matrices2023

    • Author(s)
      Yuki Nishida, Sennosuke Watanabe, Yoshihide Watanabe
    • Organizer
      10th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM2023)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 量子ウォークのmax-plus類似と極限定理2021

    • Author(s)
      渡邉扇之介
    • Organizer
      スペクトラルグラフ理論および周辺領域 第10回研究集会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Max-plus対称行列の代数的固有ベクトルの直交性2021

    • Author(s)
      西田優樹,渡邉扇之介,渡邊芳英
    • Organizer
      日本応用数理学会2021年度年会
    • Related Report
      2021 Research-status Report

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Published: 2020-04-28   Modified: 2024-12-25  

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