Construction of quantum walk model in Max-plus algebra and its application
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20K14367
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | The University of Fukuchiyama |
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Principal Investigator |
渡邉 扇之介 福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | Max-plus代数 / 量子ウォーク / 固有値 / 相関付きランダムウォーク / セルオートマトン / 交通流モデル / 固有ベクトル / 超離散系 / 有向グラフ |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は，現在までに構築されてきた量子コンピュータの基礎理論の1つである量子ウォークの理論をmax-plus代数という特殊な代数の上で再構築し，そこで得られた結果がもたらす量子ウォークへの貢献を調べるというものである．Max-plus代数は，超離散化と呼ばれる手法を施すことで得られる代数系で，元の方程式等が持つ“極端な”性質を浮き彫りにすることが経験的に知られている．本研究はこの超離散化によって得られるmax-plus代数を用いて量子ウォークの本質に迫り，量子ウォークとmax-plus代数のどちらとも強い関係性を持つセルオートマトンやグラフ理論への応用を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究成果として，量子ウォークモデルのmax-plus代数における類似物の構成を行った．ここでは，構成したmax-plus代数におけるモデルの時間発展を記述する行列の固有値が時間に関する保存量となっていることと，量子ウォークの各時刻における確率の総和が保存量になっていることを対応付けることで類似物であると呼んだ．
量子ウォークの時間発展を記述する行列はユニタリー行列であるが，max-plus代数においてはユニタリー性に対応する性質，特に直交性を議論することが困難である．そこで，2022年度ではmax-plus代数におけるベクトルの直交性に関する基礎理論の構築を目指した．結果として，max-plus代数における対称行列の異なる固有値に属する固有ベクトルが独立であり，さらに直交することを示した．本結果は現在国際論文誌に投稿中である．
また，2022年度はmax-plus代数における量子ウォークモデルの応用に関する研究をスタートした．着目したのは相関付きランダムウォークと呼ばれる，二項間の漸化式で記述されるランダムウォークを三項間の漸化式で時間発展するように一般化したもので，単純ではあるが量子性をもつ素朴な量子ウォークの１つとしても知られている．この相関付きランダムウォークのmax-plus代数における類似物を構成し，そのモデルがセルオートマトンとして解釈できることを示した．得られたセルオートマトンは通過する車の台数に応じて通行量に制約がかかる交通流モデルとなっていることについて議論した．この結果はJournal of difference equations and applicationsに掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究はこれまでに３件の掲載済み論文で結果が発表されており，１件の査読中の論文もある．よって研究計画はおおむね順調に進展していると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
量子ウォークとグラフ上のゼータ関数の関係のmax-plus類似の構築を目指す．グラフの隣接行列の行列式を用いた固有多項式と固有値やグラフの閉路を考えることが重要なグラフ上のゼータ関数への応用について，max-plus代数上の行列の固有値に関する基礎理論の準備はできたと考えている．グラフ上のゼータ関数に詳しい小山工業高等専門学校名誉教授の佐藤巌氏との研究打合せも予定できており，成果に結びつけることができるように尽力する．
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Report
(3 results)
Research Products
(5 results)
