| Project/Area Number |
20K20424
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| Project/Area Number (Other) |
19H05495 (2019)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Pioneering)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2020)
Single-year Grants (2019) |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木原 浩 会津大学, コンピュータ理工学部, 教授 (60254116)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥11,310,000 (Direct Cost: ¥8,700,000、Indirect Cost: ¥2,610,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2020: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2019: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
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| Keywords | ディフェオロジー / スペクトル系列 / 単体的de Rham複体 / 階層体 / Souriau-de Rham 複体 / 特異de Rham 複体 / 因子写像 / de Rhamの定理 / de Rham の定理 / 反復積分 / 単体的集合 |
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| Outline of Research at the Start |
球面をはじめ，局所的にユークリッド空間と同じとみなせる多様体は，その構造の豊かさから様々な研究分野において重要な研究対象となって いる。しかしながら，部分的に潰す，2つを接着する操作など多様体をホモトピー論的に考察する場合，その構造は一般的には壊れてしまう 。こうした操作で閉じる圏が多様体を含むディフェオロジカル空間の圏Diffである。本研究は，トポロジー，幾何学，代数学分野において，多くの応用可能性を持つde Rhamの定理を圏 Diff において定式化・証明し，さらには，ディフェオロジカル空間を代数的な枠組みから扱うための有理ホモトピー論，de Rhamホモトピー論の基礎理論構築を目的としている。
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般的な圏がQuillenのモデル圏構造を持つ場合，その圏上でホモトピー論が展開できるという恩恵がある。すなわち圏の対象に対してホモトピー不変量から分類問題を考察することが可能になる。近年，木原浩氏(会津大学)は，ディフェオロジカル空間（以下diff-空間）の圏DiffにQuillen モデル圏構造を導入し，さらにDiffと単体的集合のKan-Quillenモデル圏とのQuillen同値性を証明した。このモデル圏構造を本研究に応用するために，研究分担者として2022年度から木原氏に参画していただき，本研究課題 II 「ディフェオロジカルde Rhamホモトピー論，有理ホモトピー論的モデルの構築と応用」を進める体制を整えた。べき零diff-空間Mに対しては位相空間の場合のSulllivan-de Rham対応を自然に拡張することで，MのSullivan極小モデルを構成することができるが，一般の基本群を持つdiff-空間に対する有理ホモトピー論の構築にはいくつかのステップと確認作業が必要になる。本研究においては，Diffのモデル圏構造とGomez-Tato--Halperin--Tanre によるK(π, 1)空間上に媒介変数を持つ，パラメトライズ有理ホモトピー論の手法とを組み合わせることで，一般のdiff-空間Mに対してMの基本群から得られる単体的集合上の局所系による有理モデルを構成し，有理化diff空間の圏と極小局所系のそれぞれのホモトピー圏の同値性を示すことができた。さらに，べき零diff-空間Mに対しては，上記一般論よりも扱いやすい局所系モデル(柔順モデル)の構成方法を手に入れることができた。
本研究では上述の結果に加えて位相圏の分類空間のコホモロジーに代数として収束するスペクトル系列を構成しその計算を進めた．結果として特に，実射影空間の自由ループ(diff-)空間の単体的de Rhamコホモロジーを代数としてChenの反復積分写像のもので球面の体積形式を用いて表示することに成功している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今までの研究で完成している課題Iの「ディフェオロジカル空間に対するde Rhamの定理の定式化とその証明」で用いた単体的de Rham複体を上述の研究課題 II 上で応用することで成果を上げている．具体的には，まずdiff-空間の接着空間として重要な例であるKreckの階層体(Stratifold)に着目し， diff-空間の有理ホモトピー型を決定する局所系の理論を用いて，階層体の単体的de Rhamコホモロジーに代数として収束するスペクトル系列を構成することができた．そのE2-項は局所係数のコホモロジーとなるが，微分代数構造を持つこうしたタイプのスペクトル系列は今までになく新しいものである．
また，局所系の理論をdiff-空間から見直すことで，位相空間の局所系理論にも進展があった。実際，ホモトピー余極限の局所系モデルを構築する方法を確立した．特に，２つの複素射影空間の自由ループ空間への起点付きループ空間の包含に関するホモトピー余極限を考える場合，その局所系モデルを具体的に与えることに成功している。本研究を推進するための関連事業として，国際研究集会 Building-Up Differential Homotopy Theory 2024 (共同世話人:岩瀬 則夫氏(九州大学)，山口 睦氏 (大阪公立大学))を大阪公立大学で開催した。海外からの講演者4名を含む14講演が行われ，同時に講演者を含む参加者，若手研究者と広く情報・意見交換がをすることで，ディフェオロジーの応用可能性，より具体的には超関数の理論の展開，diff-空間への計量の導入そして，オービフォールドから得られる位相・ディフェオロジカル亜群の研究への利用等を確信することができた。これらの結果は，プレプリントLocal system in diffeologyを改訂し研究代表者のホームページで発表している。また当該原稿を専門雑誌に投稿し，現時点(5月中旬)で改訂版を再投稿している。
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| Strategy for Future Research Activity |
ディフェオロジー研究は微分幾何的考察よりもホモトピー論的側面及びホモロジー代数を含む圏論的側 面からのアプローチが先行し整備されてきた。こうした中で，P. Iglesias-Zemmourによりdiff-空間に対して計量の概念がもたらされている。この計量による考察とトポロジー的手法の融合はまさしく幾何学の発展から見れば自然な流れと考えられる。圏Diffにおいて微分幾何的考察を進めるために計量の概念を今後整備することが必要である。また， Paolo Giordano（University of Vienna）や島川和久（岡山大学）によりdiff-空間の圏を豊穣化することで，その圏において超関数・一般化関数を扱えるようになってきた。さらに，Leygonie, Oudot, Tillmannは位相データ解析に現れるバーコードの空間にディフェオロジーを定義し，バーコードの解析（バーコードから写像に微分の概念を定義し考察）を進めている。こうしたディフェオロジーの応用にも注目する。
またディフェオロジー研究に関連する情報収集のためにEnxin Wu(汕頭大学, 中国)およびPatrick Iglesias-Zemmour(ヘブライ大学, イスラエル)を世話人とす るマンスリーオンラインセミナー・情報交換サイト Diffeology Net (https://diffeology.net/) に運営委員として2021年から参画している。引き続き委員として参画するとともに，上述の研究に関する情報の収集に努める計画である。
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