| Project/Area Number |
20K20878
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2020: ¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000)
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| Keywords | 一般化された複素多様体 / 一般化されたケーラー多様体 / ポアソン構造 / モーメント写像 / 一般化されたスカラー曲率 / 双エルミート構造 / 一般化された複素構造 / 一般化されたケーラー構造 / カラビ・ヤオ多様体 / 概複素構造 / カラビ・ヤオ予想 / 非可換代数幾何 / スカラー曲率 / カラビ・ヤオ問題 |
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| Outline of Research at the Start |
一般化された複素構造, 一般化されたケーラー構造は Hitchin, Gualtieri により, 導入された多様体上の幾何構造である. 一般化されたケーラー構造は数理物理における N = (2, 2) 超対称シグマモデルにおけるターゲット空間のもつ幾何構造として認識されており, またノンケーラー幾何学における双エルミート構造と同値な構造であることも示されており, 数理物理, 複素微分幾何の両分野において, ケーラー幾何学の自然な拡張として盛んに研究されている. 申請者は三つの問題 (1), (2), (3) に焦点を合わせて研究をする.
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化された複素構造および一般化されたケーラー構造は通常の複素構造, シンプレクティック構造を特別な場合として含む多様体の幾何構造である. ポアソ ン 幾何, ノンケーラー幾何(双エルミート幾何), 非可換代数幾何, 幾何学的偏微分方程式, 実4次元の微分トポロジーなど, 様々な分 野と深く関連しており, この 研究分野の最近の大きな進展が注目されている.
研究代表者の研究により, 一般化されたケーラー多様体の変形安定性定理が確立され, 非自明な一般化された ケーラー多様体が正則なポアソン構造により豊富に構成されることが示され, この分野の研究が急速に進展した.
今年度においては、一般化されたケー ラー多様体のスカラー曲率の研究をさらに推進した。また一般化された接触構造及び一般化された佐々木構造の研究を進めた。一般化された接触構造の積分可能条件に関してシリンダー型とコーン型の2種類あることを明解にし、これらの研究を行った。
これらの成果は2023年4月にStony Brook University, Simons center で開催された研究集会 Supergravity, Generalized Geometry and Ricci Flow にて発表した。
さらに、シンプレクティック型とは限らない一般化されたケーラー多様体の場合に「モーメントマップの枠組み」の研究を進めた。一方、一般化された複素多様体と非可換幾何学との関連の研究はあまり進展が見られなかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は研究成果として、次の論文が出版されることとなった。
R. Goto, The Kobayashi-Hitchin Correspondence of Generalized Holomorphic Vector Bundles Over Generalized Kahler Manifolds of Symplectic Type,
International Mathematics Research Notices, Volume 2024, Issue 2, January 2024, Pages 1496-8211;1567, https://doi.org/10.1093/imrn/rnad038
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は、一般化されたケーラー多様体でのモーメント写像の枠組みの研究をさらに進めた。筆者が定義した「一般化されたスカラー曲率」がStreets, Apostolov などにより、「goto scalar curvature 」と呼ばれるなど、この研究が世界的に普及してきている。さらに、今後は一般化されたリッチフローについての研究を進めていくことにする。
generalized geometry の研究は世界的に広がりを見せており、様々な研究の立場からのアプローチが行われ、generalized geometry をテーマにした研究集会が世界各地で、開催されるようになっている。最新の研究の情報収集のために、海外の研究者とも積極的に交流をすることに努めたい。
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