| Project/Area Number |
20K20881
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥5,850,000 (Direct Cost: ¥4,500,000、Indirect Cost: ¥1,350,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2020: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
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| Keywords | 双曲多面体 / 量子不変量 / 量子 6j 記号 / 空間グラフ / ３次元多様体 / 結び目 / 双曲３次元多様体 / 双曲幾何学 / 双曲四面体 / 体積 / ジョーンズ多項式 / 複素化 |
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| Outline of Research at the Start |
双曲空間中の四面体は，辺の長さや２つの面が辺でなす角度によりその形が決まっている。この四面体に対する体積の公式を見るとこれらの長さや角度に関するパラメータについて解析的であり，また，長さを実数，角度を純虚数と見ることで，対称的な式となっている。このことから，これらのパラメータを複素化したものに対応する幾何学的対象物があると期待されるので，これを「複素化された四面体」と呼び，その実体を明らかにする。
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究により，色付き Jones 多項式と双曲体積の関係から導かれた「体積予想」を，量子 6j 記号と双曲多面体との関係に適用することで，双曲空間中の四面体の体積公式が得られている．また，この体積公式は，各辺での２面角や辺の長さに関する解析的な関数となっており，３次元球面中の四面体の体積公式にも拡張されている．体積公式での変数は角度，もしくは長さという，実数で表される数なのであるが，本研究では，この体積公式の変数を複素化したものに対応すると考えられる一般化された四面体について，その幾何的な実態がどのようなものかを明らかにすることを目指している．
昨年度テキサス大学ダラス校の Tran 教授との共同研究により，２橋結び目の色付き Jones 多項式を，量子 6j 記号をもちいて構成した．双曲体積は，色付き Jones 多項式のある種の極限であるポテンシャル関数の特異点での値と対応し，このとき，各量子 6j 記号の値の和が双曲堆積となるので，色付き Jones 多項式を構成する量子 6j 記号が，結び目補空間のある部分と対応するはずだということが示唆される．
本年度は，この考察をダブルツイスト結び目に対して行い，補空間が２つの複素化された四面体の和として表されることを明らかにした．また，辺に対応するパラメータ，すなわち角または長さの複素化されたものが，辺に対応する基本群の元の SL(2, C) 表現の固有値と対応することを示し，この対応を用いて，ダブルツイスト結び目に対する体積予想を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パンデミックによる研究交流の制約のため，他の研究者との研究打ち合わせを十分に行うことができず，研究が遅れていたが，パンデミックの落ち着きと共に研究交流を再開することができ，本年度については順調に研究を進めることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
複素化された四面体を用いて，一般の双曲極結び目に対して体積予想を証明する．
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