Discrete integration by parts on any convex polygon and design of structure-preserving numerical schemes
| Project/Area Number |
20K20883
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥6,110,000 (Direct Cost: ¥4,700,000、Indirect Cost: ¥1,410,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 離散部分積分公式 / 構造保存数値解法 / 差分法 / 対数差分 / 凸多角形分割 / 離散部分積分 / Gauss-Green の定理 / Stokes の定理 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では任意次元での任意の凸多角形格子上での厳密な離散部分積分公式群を構成し，厳密な離散変分計算に適用して新しい構造保存数値解法を設計する．
構造保存数値解法を適用可能な離散格子の種類が限定的であることに対し，任意凸多角形格子その staggered 格子の双方の上でそれぞれ有限体積的に微分作用素を離散化し，応募者は同格子上で離散部分積分公式を直接に計算しながら導出する新しい方法を考案，そして必要な離散部分積分公式群を構成することに成功した．
本研究は，この新しい方法により数値解析の専門家の一つの理想である自由格子上での優れた数値計算が得，かつ発展させるものである．
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度研究計画においては主に研究計画のステップ2からステップ4において想定していた過程計画を基に各分野の専門家と協働も含めたアプローチを行った．
まず，本研究の本質的内容である構造保存を実現するために要請される離散的数学的性質についての研究に基づき，ステップ２にかけての研究の継続として基底空間離散化とその上での微分作用素の離散化への要請について基底空間の一般凸多角形分割と定数関数空間上での離散ベクトル解析の数学的な整理について研究を推進した．
ステップ３としては既存の構造保存数値解法高速化手法について非線形性が多項式である場合の多段階化法との整合性を調べ適用可能であることを見出していたが，この離散化が変分構造を数学的に維持していることによるものであり数学的な自然な拡張であることを利用して高速化スキームの安定性について関数解析による解析を進めた．
またステップ４として，新しい構造保存数値解法の数学的性質の解析に着手した．その課程において，より優れた離散化手法として近似誤差形状を制御可能な対数差分演算子を新たに構成していた．これは安定性等の側面で優れた性質をもつと期待してたがが，積型誤差混入に対する抵抗性などの新たな数学的性質も発見されるに至った．これらの成果は第27回計算工学講演会，ワークショップ「High-index saddle の探索アルゴリズムとその応用」などの研究集会・学会にて講演発表し，専門家と最新の知見を共有した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の計画において，当該年度の研究は第２から第４ステップまでの範囲であったが，これらの計画に沿って十全に研究を推進することが出来た．
また，前年度に引き続き，非線形ながら近似誤差プロファイルを制御可能な新しい差分演算子の解析，その新しい数学的性質の発見，構成に至る成果に関する研究を本研究のフレームワークと連携させて進展させている．これは本研究の目的である離散部分積分公式の研究にも寄与しつつ他場面への適用も強く期待できる成果でありることから，当初計画として十分に満足な成果であると判断するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
現状は研究計画にあったステップ２からステップ４に至る過程を順調に遂行した上に計画にない新たな成果も並行して進展させている状況であることから，方向性としては正しいと判断し，引き続き大きく分けて以下の複数の方向性へその可能性を探索しながら研究を遂行してゆく方策が良いと考える．
その一つ目は研究計画に記載したステップ３からステップ４へと進展することに相当する方向性で，これまでに一定の成果確立をみた凸多角形分割における差分作用素に基づく構造保存数値解法の構成である．これは研究計画書の目的の項にも記したようにこの成果が得られれば理学，工学，社会，医療問題等の幅広い分野での実際の応用があり重要性の高い方向性である．この方向性の研究に関しては東京大学の松尾教授，大阪大学の宮武准教授とのこれまでの共同研究を継続することで進展を強く期待できると考えている．
二つ目の方向性は前年度までに得た新しい成果である非線形差分作用素の本研究への適用可能性を検討するというものである．この差分作用素は非線形のために計算量は増加するが，導入された自由パラメータにより近似誤差プロファイルを制御可能であるという大変優れた数学的性質をもつことから，波動型偏微分方程式をはじめ多くの問題に対して大変に有用であると期待できる．さらに，積型誤差混入に対する抵抗性を持つことも発見された．この特徴を取り込む形で構造保存数値解法が構成できればこれは実用上大変に優れた数値計算法となる可能性があるためこの方向性を探索することは本研究において大変に重要であると考える．
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Report
(3 results)
Research Products
(13 results)
