| Project/Area Number |
20K22317
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Oyama National College of Technology |
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Principal Investigator |
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| Project Period (FY) |
2020-09-11 – 2022-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2021)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 消去問題 / ザリスキ問題 / 一意分解整域 (UFD) / 次数付き環 / UFD / 次数付環 / アフィン代数多様体 / 局所冪零導分 / 次数構造 / アフィンファイブレーション |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では, アフィン代数多様体における「消去問題」に取り組む. 消去問題とは, X×L=Y×LをみたすときX=Yとなるかを問う問題である. ただしLはアフィン直線を意味する. 本研究の目的は, どのような条件の下で消去問題が成立するか, を明らかにすることである. そのために, 消去性を判定できる新たな不変量の発見・構成を目指す.
予備研究では, 座標環の次数構造に着目して目的の不変量を構成している. この不変量はまだ荒い部分があり, 消去性判定の道具としてはまだ不十分である. そのため, この不変量を改良し, 消去性を記述することができる, より精度の高い不変量の構成を目指す.
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| Outline of Final Research Achievements |
We construct 6 criteria for a ring to be a unique factorization domain. Two of them are generalizations of Samuel's criteria in 1964. We also give a generalization of Mori's criterion in 1977. As applications of these criteria, we construct the following: 1) 3 dimensional rational UFDs and the minimum number of generators of them, 2) Non-noetherian rational graded UFDs of dimension 3, 3) UDFs defined by trinomial relations, 4) A counterexample of exercises in the Bourbaki. In particular, UDFs obtained in 3) has a geometric aspect.
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| Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements |
3項式で定義されるUFDは, 複雑性が1のトーラスの作用を持つアフィン代数多様体に対応し, 2次元の場合は森重文氏 (1977年), 3次元の場合は石田正典氏 (1977年), そして基礎体の標数が0の場合に限り一般次元で, J. Hausen氏, E. Herppich氏およびH. Suss氏 (2011年) が分類を与えている. 上記のどの研究も幾何学的な手法を用いているが, 本研究では代数的な手法のみを用いている. その結果, 基礎体の条件に依存しない議論が可能である. 特に我々が構成したUFDは, 基礎体が代数的閉体である必要はなく, その標数も任意の場合で得られている.
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