| Project/Area Number |
20K22319
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
谷口 正樹 国立研究開発法人理化学研究所, 数理創造プログラム, 基礎科学特別研究員 (30880520)
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| Project Period (FY) |
2020-09-11 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 2次元結び目 / Yang-Millsゲージ理論 / 特異インスタントン / 2次元トーラス結び目 / 結び目群 / インスタントンFloer理論 / 特異接続 / トーラス結び目 / Chern-Simons汎関数 / インスタントンFloerホモロジー / 結び目Floerホモロジー / Khovanovホモロジー / 微分トポロジー / Seifert超曲面 |
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| Outline of Research at the Start |
ゲージ理論を用いた2次元結び目の研究を行う. 滑らかな(位相的)2次元結び目とは, 4次元球面に滑らかに(連続に)埋め込まれた2次元球面のことである. 本研究は, 「滑らかな2次元結び目と位相的2次元結び目の差異」を明らかにすることを目的とする. その差異を捉えるため, 2次元結び目の手術から得られる4次元多様体上でYang-Millゲージ理論を展開する.
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の研究目標は, 2次元結び目をYang-Millsゲージ理論を用いて研究することであった. 本研究課題の主結果であった論文「Seifert hypersurfaces of 2-knots and Chern-Simons functional」においてYang-Millsゲージ理論を用いて2次元結び目のSeifert超曲面と結び目補空間のSU(2)表現を結びつけるに至っていた. また, 前年度は, その議論を2次元トーラスがS^1×S^3にessentialに埋め込まれている場合に拡張できることを考察していた. また, 関連する議論として, 2次元トーラスとS^1×S^3のペアとしての無限巡回被覆空間を考察し, その上のYang-Millsインスタントンモジュライ空間のコンパクト性を考察し, 上記に述べた一部の結果はそのようなモジュライ空間から導かれることを考察した. また, Daemi-佐藤-Scaduto-井森-谷口の研究において特異インスタントン理論を用いて結び目の実数値不変量J(K)を導入し, そこからあるクラスの2次元トーラス結び目に対しても実数値不変量が拡張できることを考察した.
これは, 2次元トーラス結び目のスライスが結び目Kである場合に, J(K)は, 2次元トーラス結び目になる, という考察を経て得られる. すなわち, スライスとなる結び目の取り方に依存しないことが分かる. このようにして2次元トーラス結び目の実数値不変量が新しく得られた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初想定していた2次元結び目のYang-Millsゲージ理論を用いた研究は, 論文「Seifert hypersurfaces of 2-knots and Chern-Simons functional」にまとめられ, すでに出版されている. さらにそれらの考察の2次元トーラスがS^1×S^3にessentialに埋め込まれている場合への拡張を考察している. よって, 概ね順調に進展していると言える.
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| Strategy for Future Research Activity |
Daemi-佐藤-Scaduto-井森-谷口の研究において導入された結び目の実数値不変量を用いて2次元トーラスがS^1×S^3にessentialに埋め込まれている場合に結び目の補空間の基本群に応用することを考えている. 特に上記の不変量J(K)が非自明な場合に, Kをスライスに持つ2次元トーラス結び目はtracelessな既約SU(2)表現をその基本群に持つことが期待される.
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