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結び目群の線形表現を使った被覆空間のトポロジーの研究

Research Project

Project/Area Number 21740039
Research Category

Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Geometry
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

山口 祥司  The University of Tokyo, 数理(科)学研究科(研究院), 研究員 (30534044)

Project Period (FY) 2009
Project Status Completed (Fiscal Year 2010)
Budget Amount *help
¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2010: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2009: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords結び目理論 / 被覆空間 / 3次元トポロジー / ねじれアレキサンダー不変量 / 線形表現
Research Abstract

結び目の外部空間の被覆空間のトポロジーを調査するために、被覆空間の位相不変量を結び目のねじれアレキサンダー不変量の積から計算する積公式を導出を行った。この公式の導出は、本研究課題の目的である「結び目(理論)と結び目に沿った分岐被服空間と呼ばれる空間のトポロジ-との関係をねじれアレキサンダー不変量を使って解明する」ことの過程において、中間地点に対応する。今回得られた積公式の適応対象である"結び目の外部空間の被服空間"と本研究課題の目的にある"結び目に沿った分岐被覆空間"との違いは、"Dehn filling"と呼ばれる3次元空間を変化させる操作によって記述される。本研究課題の目的達成のためには、今後さらに積公式の"Dehn filling"についての変化を詳細に考察する必要がある。今年度の成果の一つである積公式の導出は、パリ第7大学(フランス)所属のJerome Dubois氏との共同研究の成果である。
また、得られた積公式の具体例を様々な結び目を使って構成していく中で、結び目理論において最も基本的かつ重要といってよい結び目のアレキサンダー多項式とねじれアレキサンダー不変量との間の新たな関係を発見することができた。元来、ねじれアレキサンダー不変量はアレキサンダー多項式という結び目理論及び3次元トポロジーにおいて非常に有用な不変量を結び目群の線形表現と組み合わせることにより精密化を図ったものである。今回の発見は、結び目のねじれアレキサンダー不変量の中にアレキサンダー多項式自身が多項式の因子として現れる現象を発見し、解明することができた。今回の発見、考察においては、今年度交付された科学研究補助金による国内外での研究打ち合わせから多くの有益な情報を得ている。とりわけ、トロント大学(カナダ)の村杉邦夫教授との議論からは多くの示唆を受けることができた。

Report

(1 results)
  • 2009 Annual Research Report
  • Research Products

    (2 results)

All 2010 2009

All Presentation (2 results)

  • [Presentation] On the twisted Alexander polynomial for cyclic covers over knot exteriors2010

    • Author(s)
      山口祥司
    • Organizer
      国際研究集会「Low dimensional topology and number theory II」
    • Place of Presentation
      東京大学大学院数理科学研究科
    • Year and Date
      2010-03-15
    • Related Report
      2009 Annual Research Report
  • [Presentation] Multivariable twisted Alexander polynomial for hyperbolic link exteriors2009

    • Author(s)
      山口祥司
    • Organizer
      日本数学会秋期総合分科会(トポロジー分科会)
    • Place of Presentation
      大阪大学
    • Year and Date
      2009-09-24
    • Related Report
      2009 Annual Research Report

URL: 

Published: 2009-04-01   Modified: 2016-04-21  

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