Development of Optimization Mathematical Modeling

Research Project

Project/Area Number	21H03398
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
Allocation Type	Single-year Grants
Section	一般
Review Section	Basic Section 60020:Mathematical informatics-related
Research Institution	National Graduate Institute for Policy Studies
Principal Investigator	土谷隆政策研究大学院大学, 政策研究科, 教授 (00188575)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	北原知就九州大学, 経済学研究院, 准教授 (10551260) 上野玄太統計数理研究所, モデリング研究系, 教授 (40370093) 荒川俊也日本工業大学, 先進工学部, 教授 (50631248) ロウレンソブルノ・フィゲラ統計数理研究所, 数理・推論研究系, 准教授 (80778720) 小原敦美福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (90221168)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥16,510,000 (Direct Cost: ¥12,700,000、Indirect Cost: ¥3,810,000) Fiscal Year 2023: ¥5,720,000 (Direct Cost: ¥4,400,000、Indirect Cost: ¥1,320,000) Fiscal Year 2022: ¥5,590,000 (Direct Cost: ¥4,300,000、Indirect Cost: ¥1,290,000) Fiscal Year 2021: ¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000)
Keywords	半正定値計画法 / 悪条件 / 新型コロナウイルス感染症 / 数理モデル / 線形計画法 / 最適化 / モデリング / 半正定値計画問題 / 半正値計画 / 双対ギャップ / 摂動解析 / 確率密度推定 / 双対理論 / 情報幾何
Outline of Research at the Start	本研究では(1)凸錐上の線形計画問題の解析とアルゴリズム, (2)最適化による数理モデリングの２つの柱を立てて研究を進める．前者では, (1a) 双対理論の拡張による双対ギャップ解消と頑健な半正定値計画問題の解法への応用, (1b) 有限精度計算の面縮小法,(1c) 多数の線形不等式を持つ錐線形計画問題の多項式時間解法, (1d) 線形計画問題の中心曲線の幾何学的解析, 後者では, (2a) 新型コロナウイルス感染症の拡大と社会的制御の最適化モデリング, (2b) 最適解集合からの標本抽出による古代メソポタミアの社会構造推定, (2c) 最適化による新しい多次元確率分布の推定を研究する．
Outline of Annual Research Achievements	特に研究の進展した悪条件半正定値計画問題(SDP)の摂動解析を中心に成果を説明する．本年度は，典型的な悪条件半正定値計画問題である，主問題と双対問題の最適値が異なるSDPを解析した．この場合，十分に小さい摂動を加えて正則化すると，摂動後の問題は主問題と双対問題の最適値が一致する双対ギャップがないSDPとなる．昨年度までの研究で，主問題と双対問題の最適値が異なる場合，双対問題のみを正則化して摂動を0に近づけると(摂動双対問題の)最適値の極限は主問題の最適値となり，主問題のみを正則化して摂動を0に近づけると(摂動主問題の)最適値の極限は双対問題の最適値となることが明らかになった．さらに主問題と双対問題を同時に摂動することにし，主問題と双対問題の摂動の大きさの比率を0とπ/2間の角度θで表現する．θ=0(θ=π/2)が双対問題(主問題)のみを摂動する場合に対応する．この設定でθを一定に保ちつつ摂動をゼロに近づけていけば，摂動問題の最適値の極限は元の主問題と双対問題の最適値の間に収束し，極限最適値は「開区間(0,π/2)」で連続単調減少関数であることも示されていた．本年度は，主問題と双対問題の特異度が共に１であるという正則条件の下で，θを一定にして摂動を0に近づけると摂動問題の極限最適値が「閉区間[0,π/2]」でθの狭義単調減少連続関数となることを示した．これは「SDPの非ゼロ双対ギャップを摂動によって完全に塞ぐことができる」ことを示したことになる．最後に他の部分課題の成果について述べる．半正定値計画法を用いた確率密度推定法について，1次元の場合について，Rで実装した推定用ソフトウェアを完成し，これをCRANで公開した．また，新型コロナウイルス感染症モデルの最適化については，第7波，第8波に対応した数理モデルの改良を行いつつ，パラメータ最適化に向けた予備的検討を行った．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 特に半正定値計画問題の双対理論の摂動による拡張について，大きな進展が得られた．また，1次元の密度推定プログラムが実装されたため，独立成分分析による多次元密度推定プログラムを作成する準備が整った．新型コロナウイルス感染症についてもモデル化が進展し，パラメータ最適化を行う準備が整った．
Strategy for Future Research Activity	新型コロナウイルス感染症のパラメータ最適化手法を開発する．半正定値計画法による確率密度推定法の高次元化に取り組む．最適解からのサンプリング手法についても研究を進める．