Why is the multiple zeta value so ubiquitous?

• Project/Area Number: 21H04430
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大野 泰生 東北大学, 理学研究科, 教授 (70330230) ; 古庄 英和 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60377976)
• Project Period (FY): 2021-04-05 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥40,560,000 (Direct Cost: ¥31,200,000、Indirect Cost: ¥9,360,000); Fiscal Year 2025: ¥9,100,000 (Direct Cost: ¥7,000,000、Indirect Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 2024: ¥9,880,000 (Direct Cost: ¥7,600,000、Indirect Cost: ¥2,280,000); Fiscal Year 2023: ¥9,880,000 (Direct Cost: ¥7,600,000、Indirect Cost: ¥2,280,000); Fiscal Year 2022: ¥8,970,000 (Direct Cost: ¥6,900,000、Indirect Cost: ¥2,070,000); Fiscal Year 2021: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
• Keywords: 多重ゼータ値 / 複シャッフル関係式 / 有限多重ゼータ値 / 超幾何関数 / シューア多重ゼータ値 / q-類似 / Mould / 調和積 / 正規化基本定理 / 川島関係式

Outline of Research at the Start

数学や物理学の様々な分野に登場する多重ゼータ値について，その遍在性の理由の探求を，「複シャッフル現象の解明」という視点を中心に据えて研究を行うものである．より具体的な目標として，三つの副目的（I）モチビック－アデリック描像の深化， (II) q-化，楕円化による理解の深化と広角化， (III) 母関数を通した超幾何からのフィードバック，を掲げ，研究代表者，研究分担者，研究協力者が互いに協力しながら，背後に潜む共通の原理を明らかにするべく研究を遂行する．Broadhurst-Kreimer 予想やKaneko-Zagier 予想といった未解決問題への打開点を探ることも重要な課題である．

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的概要は，数学や物理学の様々な分野に登場する多重ゼータ値について，その遍在性の理由の探求を，「複シャッフル現象の解明」という視点を中心に据えて研究を行うものである. その目的に向けて，本年度代表者は，村上拓也，吉原周と共同で，レベル2の有限多重ゼータ値を，和を素数pでなくp/2で打ち切ることで定義し，その色々な関係式についての結果を得た．複シャッフル関係式にあたるものの存在を特定出来てはいないが，レベル1では見られない興味深い関係が多数得られた．
分担者大野はSchur多重ゼータ値の双対公式およびその拡張について，Schur多重ゼータ関数のJacobi-Trudi公式を介することにより証明をした．Schur多重ゼータ値の複シャッフル構造は，積分側の理解が徐々に進みつつあり，今後が期待できる．
分担者古庄は，広瀬-佐藤の合流関係式とDrinfeldのアソシエータ関係式が同値であることを証明した．これは極めてインパクトの大きい結果であり，合流関係式から複シャッフル関係式が従うことは広瀬-佐藤が示しているので，逆を示すことが今後の課題である．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

有限多重ゼータ値やSchur多重ゼータ値など，複シャッフル構造について十分な理解が得られていない対象についても，様々な関係式の発見や証明を通じ，古典的な場合との類似性や関係性に新しい知見が得られている．更には，一番大きな関係式族であると予想され，また理論的にも重要なアソシエータ関係式と同値であるような関係式族として，合流関係式を位置づけることが出来たことは，複シャッフル関係式の理解という面からも大変意義深いことであると考える．合流関係式は非常に具体的であり，そこから複シャッフル関係式が従うことの証明もある意味初等的である．この度の結果は今後の発展のための大きなマイルストーンとなると考えられ，目的の達成に向けて順調に進展していると判断する．

Strategy for Future Research Activity

引き続き，当初の研究実施計画に沿って，研究目的である「複シャッフル現象の解明」を主軸に据えつつ，申請書に記載した三つの副目的 (I) モチビック-アデリック描像の深化， (II) q-化，楕円化による理解の深化と広角化， (III) 母関数を通した超幾何からのフィードバック，に沿って着実に研究を遂行していく. ようやくコロナ前の，対面での研究打合せや研究集会が常態化してきている．人の派遣や招聘を通じて，代表者と分担者だけではなく，関連研究者との交流，議論を活発化させ，研究推進に資する．また，若手育成のための，短期滞在研究や，セミナーや研究集会での発表機会を意識的に多く設けていく．計算機を用いた実験による現象の発見にも引き続き努めていく．

Research Products

• [Int'l Joint Research] ローマ大学(イタリア)
• [Int'l Joint Research] 浙江理工大学(中国)
• [Int'l Joint Research] CIRM(フランス)
• [Int'l Joint Research] ダルムシュタット工科大学(ドイツ)
• [Journal Article] An interpolation of the generalized duality formula for the Schur multiple zeta values to complex functions (2024)
  • Author(s): Maki Nakasuji, Yasuo Ohno, Wataru Takeda
  • Journal Title: Journal of the Mathematical Society of Japan Volume: -
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] On finite multiple zeta values of level two (2023)
  • Author(s): Kaneko Masanobu、Murakami Takuya、Yoshihara Amane
  • Journal Title: Pure and Applied Mathematics Quarterly Volume: 19 Issue: 1 Pages: 267-280
  • DOI: 10.4310/pamq.2023.v19.n1.a10
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A study of a Fuchsian system of rank 8 in 3 variables and the ordinary differential equations as its restrictions (2023)
  • Author(s): Akihito Ebisu, Yoshishige Haraoka, Masanobu Kaneko, Hiroyuki Ochiai, Takeshi Sasaki, Masaaki Yoshida
  • Journal Title: Osaka J. Math Volume: 60, no. 1 Pages: 153-206
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] 多重ゼータ値の2-1公式 (2023)
  • Author(s): 大野泰生, 山本修司
  • Journal Title: 日本数学会 雑誌 数学 Volume: 75, no.4 Pages: 389-402
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] The triangle algorithm for Bernoulli polynomials (2023)
  • Author(s): Naho Kawasaki, Yasuo Ohno
  • Journal Title: Integers Volume: 23, #A39. Pages: 1-18
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Schur多重ゼータ値の双対公式とその拡張 (2023)
  • Author(s): 大野泰生
  • Journal Title: 京都大学数理解析研究所講究録 Volume: 2238 Pages: 13-16
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Kashiwara?Vergne and dihedral bigraded Lie algebras in mould theory (2023)
  • Author(s): Furusho Hidekazu、Komiyama Nao
  • Journal Title: Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. Volume: 32 Issue: 4 Pages: 655-725
  • DOI: 10.5802/afst.1749
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The l-adic hypergeometric function andassociators (2023)
  • Author(s): Furusho Hidekazu
  • Journal Title: Tunisian Journal of Mathematics Volume: 5 Issue: 1 Pages: 1-29
  • DOI: 10.2140/tunis.2023.5.1
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The Betti side of the double shuffle theory. III. Bitorsor structures (2023)
  • Author(s): Enriquez Benjamin、Furusho Hidekazu
  • Journal Title: Selecta Mathematica Volume: 29 Issue: 2
  • DOI: 10.1007/s00029-023-00825-2
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] A criterion of algebraic independence of values of modular functions and an application to infinite products involving Fibonacci and Lucas numbers (2022)
  • Author(s): Daniel Duverney, Carsten Elsner, Masanobu Kaneko, and Yohei Tachiya
  • Journal Title: Reseach in Number Theory Volume: 8, no. 2 Paper No. 31 Issue: 2
  • DOI: 10.1007/s40993-022-00328-7
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] On relations among multiple zeta values obtained in knot theory (2022)
  • Author(s): Furusho Hidekazu
  • Journal Title: the Advanced Lectures in Mathematics (ALM) book series Volume: Vol 49 Ch 5 Pages: 73-89
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Analytic continuation of multiple polylogarithms in positive characteristic (2022)
  • Author(s): Furusho Hidekazu
  • Journal Title: Tunisian Journal of Mathematics Volume: 4 Issue: 3 Pages: 559-586
  • DOI: 10.2140/tunis.2022.4.559
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The pentagon equation and the confluence relations (2022)
  • Author(s): Furusho Hidekazu
  • Journal Title: American Journal of Mathematics Volume: 144 Issue: 4 Pages: 873-894
  • DOI: 10.1353/ajm.2022.0018
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The Betti side of the double shuffle theory. I. The harmonic coproduct (2021)
  • Author(s): Benjamin Enriquez, Hidekazu Furusho
  • Journal Title: Selecta Math. (N.S.) Volume: 27 Issue: 1
  • DOI: 10.1007/s00029-022-00807-w
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] A generalized regularization theorem and Kawashima's relation for multiple zeta values (2021)
  • Author(s): Masanobu Kaneko, Ce Xu, Shuji Yamamoto
  • Journal Title: Journal of Algebra Volume: 580 Pages: 247-263
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2021.04.005
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Relations among multiple zeta values and related generating functions (2021)
  • Author(s): Yasuo Ohno
  • Journal Title: RIMS Kokyuroku Bessatsu Volume: 87
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Recursion formulas for poly-Bernoulli numbers and their applications (2021)
  • Author(s): Yasuo Ohno and Yoshitaka Sasaki
  • Journal Title: International Journal of Number Theory Volume: 17 Issue: 01 Pages: 175-189
  • DOI: 10.1142/s1793042121500081
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] On finite multiple zeta values and related topics (2024)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 第19回代数・解析・幾何学セミナー
  • Invited
• [Presentation] On finite analogues of Euler's constant (2024)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: NCTS Number Theory Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Schur多重ゼータ値の双対関係式 (2024)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: 名古屋組合せ論セミナー
  • Invited
• [Presentation] 多重ゼータ値の双対関係式 (2024)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: 日本数学会東北支部会 特別講演
  • Invited
• [Presentation] An introduction to KZ associator (2024)
  • Author(s): Hidekazu Furusho
  • Organizer: Grothendieck-Teichmuller Theory
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On confluence relation (2024)
  • Author(s): Hidekazu Furusho
  • Organizer: Grothendieck-Teichmuller Theory
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Multiple L-values of conductor four, Entringer numbers, and modular forms (2023)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: Number Theory Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Multiple L-values of conductor four, Entringer numbers, and modular forms (2023)
  • Author(s): Masanobu Kaneko
  • Organizer: The 2nd International Workshop on Multiple Zeta Values and Related Fields
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Prime numbers and multiple zeta values (2023)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 談話会
  • Invited
• [Presentation] 多重ゼータ値の双対関係式の拡張 (2023)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: 東北大学理学研究科数学専攻 談話会
• [Presentation] 金子-津村の多重エータ値とその和の反芻 (2023)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: 2023大分宮崎整数論研究集会
  • Invited
• [Presentation] Associateurs et theorie des moules (2023)
  • Author(s): Hidekazu Furusho
  • Organizer: Seminnaire Quantique
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] p-adic Hypergeometric Function Related with p-adic Multiple Polylogarithms (2023)
  • Author(s): Hidekazu Furusho
  • Organizer: NCTS Number Theory Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 正標数多重ポリログの解析接続 (2023)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: 第68回 代数学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] Associators in mould theory (2023)
  • Author(s): Hidekazu Furusho
  • Organizer: Mapping class groups: pronilpotent and cohomological approaches
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] p-adic multiple zeta values, p-adic multiple polylogarithms and p-adic multiple L-functions I, II, III (2023)
  • Author(s): Hidekazu Furusho
  • Organizer: 北京大学Mini-course lectures
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] p-adic hypergeometric function related with p-adic multiple polylogarithms (2023)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: 第 19 回北陸数論研究集会「超幾何関数の数論とその周辺」
  • Invited
• [Presentation] アソシエーターと mould 理論 (2023)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: 代数的整数論とその周辺2023
  • Invited
• [Presentation] レベル4の多重L値について (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: RIMS 研究集会「多重ゼータ値の諸相」
  • Invited
• [Presentation] Euler 数，Entringer 数と導手4の多重L値 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 三角函数研究会
  • Invited
• [Presentation] 「多重ゼータ値」小史 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 第32回数学史シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] 虚2次体の類数をめぐる2,3の話題 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 愛知数論セミナー
  • Invited
• [Presentation] フルヴィッツ型多重ゼータ値の正規化と川島関係式 (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 「代数的整数論とその周辺」研究集会
  • Invited
• [Presentation] On some formulas for quadratic class numbers (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: Number Theory in Tokyo
  • Invited
• [Presentation] Schur多重ゼータ値の双対公式とその拡張 (2022)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: RIMS共同研究（公開型）多重ゼータ値の諸相
  • Invited
• [Presentation] Schur 多重ゼータ値の一般化双対公式の複素補間 (2022)
  • Author(s): 武田渉, 大野泰生, 中筋麻貴（連名講演、登壇は武田）
  • Organizer: 日本数学会, 秋季総合分科会, 代数学分科会
• [Presentation] Schur多重ゼータ値のO和の複素補間と双対不変性 (2022)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: 2022大分熊本整数論研究集会
  • Invited
• [Presentation] On l-adic and p-adic hypergeometric functions (2022)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: L-functions and Motives in Niseko 2022
  • Invited
• [Presentation] Mould理論とKashiwara-Vergne Lie代数 II (2022)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: リーマン面に関連する位相幾何学
  • Invited
• [Presentation] 調和余積の 2 種類の固定化部分群について (2022)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: 多重ゼータ値の諸相
  • Invited
• [Presentation] On two stabilizers related to harmonic coproducts (2022)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: Seminnaire Quantique
  • Invited
• [Presentation] Multiple L-values of conductor 4, Entringer numbers, and period polynomials (2022)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 第16回多重ゼータ研究集会 & 第58回関西多重ゼータ研究会（オンライン，Zoom）
  • Invited
• [Presentation] Associators and an l-adic analogue of Gauss's hypergeometric function (2022)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: Johnson homomorphisms and related topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Mould 理論における柏原-Vergne リー代数と Goncharov の二面的リー代数 (2022)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: Low dimensional topology and number theory
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Schur 多重ゼータ値の双対公式とその拡張 (2022)
  • Author(s): 大野泰生，中筋麻貴
  • Organizer: 日本数学会 年会 代数学分科会 @on line
• [Presentation] レベル 2 有限多重ゼータ値について (2021)
  • Author(s): 金子昌信
  • Organizer: 九州代数的整数論2021夏（オンライン，Zoom）
  • Invited
• [Presentation] l-進超幾何関数 (2021)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: 九大多重ゼータセミナー（拡大版）
  • Invited
• [Presentation] Artin-Schreier equation and Carlitz multiple polylogarithms (2021)
  • Author(s): 古庄英和
  • Organizer: Japan Europe Number Theory Exchange Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Schur多重ゼータ値と双対関係式と (2021)
  • Author(s): 大野泰生
  • Organizer: 2021大分整数論研究集会 @on line
  • Invited
• [Book] 数論入門事典 (2023)
  • Author(s): 足立恒雄／石川佳弘／市川尚志／大野泰生／落合 理／加藤文元／川口 周／木村 巌／栗原将人／黒川信重／小林真一／斎藤 憲／鈴木正俊／関真一朗／高瀬正仁／田口雄一郎／三浦伸夫／三枝洋一／三宅克哉／室井和男／安福 悠／山内卓也／横山俊一／
  • Total Pages: 640
  • Publisher: 朝倉書店
  • ISBN: 4254111592