| Project/Area Number |
21H04430
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Medium-sized Section 11:Algebra, geometry, and related fields
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大野 泰生 東北大学, 理学研究科, 教授 (70330230)
古庄 英和 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60377976)
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| Project Period (FY) |
2021-04-05 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2025)
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| Budget Amount *help |
¥40,560,000 (Direct Cost: ¥31,200,000、Indirect Cost: ¥9,360,000)
Fiscal Year 2025: ¥9,100,000 (Direct Cost: ¥7,000,000、Indirect Cost: ¥2,100,000)
Fiscal Year 2024: ¥9,880,000 (Direct Cost: ¥7,600,000、Indirect Cost: ¥2,280,000)
Fiscal Year 2023: ¥9,880,000 (Direct Cost: ¥7,600,000、Indirect Cost: ¥2,280,000)
Fiscal Year 2022: ¥8,970,000 (Direct Cost: ¥6,900,000、Indirect Cost: ¥2,070,000)
Fiscal Year 2021: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
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| Keywords | 多重ゼータ値 / 複シャッフル関係式 / 有限多重ゼータ値 / 超幾何関数 / シューア多重ゼータ値 / 多重L値 / Mould / Kashiwara-Vergne Lie 代数 / Schur 多重ゼータ値 / 二面的 Lie 代数 / q-類似 / 調和積 / 正規化基本定理 / 川島関係式 |
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| Outline of Research at the Start |
数学や物理学の様々な分野に登場する多重ゼータ値について，その遍在性の理由の探求を，「複シャッフル現象の解明」という視点を中心に据えて研究を行うものである．より具体的な目標として，三つの副目的（I）モチビック－アデリック描像の深化， (II) q-化，楕円化による理解の深化と広角化， (III) 母関数を通した超幾何からのフィードバック，を掲げ，研究代表者，研究分担者，研究協力者が互いに協力しながら，背後に潜む共通の原理を明らかにするべく研究を遂行する．Broadhurst-Kreimer 予想やKaneko-Zagier 予想といった未解決問題への打開点を探ることも重要な課題である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度代表者は松坂俊輝，関真一朗とともに，通常Aと書かれる，有限多重ゼータ値が住んでいる環におけるオイラー定数の類似物を複数の異なる観点から定義し，それらが有限対数の有理数での値程度の差を除き一致することを示した．有限多重ゼータ値の複シャッフル現象については，実数上の場合と異なる仕組みになっていて，その根源的な解釈が望まれるところであるが，ある意味でゼータ値の正規化値とも捉えられるオイラー定数の類似物を調べることは意味のあることである．
分担者大野は，以前中筋麻貴と共同で得ていた，Schur型多重ゼータ値のいわゆる大野和に関する双対関係式が，複素一変数版として補間しても成立することを示した．通常の多重ゼータ値の場合の大野和の双対関係式を広瀬ほかが補間した仕事を，Schur版で同様に示すことに成功したものである．双対関係式を複シャッフル関係式から導くことが出来るか，というのは長年の未解決問題であるが，このような一般化を通してそこに光を当てることが出来るか，興味深い問題である．また2重と3重のベルヌーイ数の2冪および3冪を法とする合同関係式を調べ，2重ベルヌーイ数については2冪を法とするクンマー型合同関係式を示した．
分担者古庄は，多重ゼータ値の複シャッフル関係式に関するBenjamin Enriquezとの共同研究で，調和余積から定まる2種類の固定化部分群が一致しさらにそれらがRacinetの複シャッフル群とも一致するという結果を得た．また， Double shuffleリー代数とKashiwara-Vergneリー代数のmould理論を用いた再解釈を考察し， Schnepsの結果で暗に仮定されている六項関係式の成立の，特殊な状況での検証も行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度に引き続き，いろいろな複シャッフル現象の関係や，別の対象との関わりなどについて一定の理解が進んだ．値の関係式だけでなく，関数補完に対しても複シャッフル現象がどこまで成り立つのか，そこに働く原理は何か，など，Schur 多重ゼータ値の研究を通して発展的な問題意識も生まれており，新たな地平を広げつつあると感じられる．mould理論を通しての複シャッフルリー代数とKashiwara-Vergneリー代数の関係の理解も深化を続けており，統一的な描像を得ていくにはまだしばらく時間がかかるかも知れないが，有限類似の研究も含め，より大きな枠組みでの理解という，目標そのものの深化も視野に入ってきていると思われるので，進捗状況としては概ね順調であると言ってよいと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度となるが，昨年度に引き続き当初の研究実施計画に沿って，研究目的である「複シャッフル現象の解明」を主軸に据えつつ，申請書に記載した三つの副目的 (I) モチビック-アデリック描像の深化， (II) q-化，楕円化による理解の深化と広角化， (III) 母関数を通した超幾何からのフィードバック，に沿って着実に研究を遂行していく．キーワードとして挙げている対象についての研究が中心となる．これまでのところq-化と称している研究の進展が余り見られていないが，q-川島関係式についての研究など，進捗の見込めることもあるのでしっかり対応していく．対面での研究打合せや研究集会を今年度も充実させ，人の派遣や招聘を通じて，代表者と分担者だけではなく，関連研究者との交流，議論を活発化させ，研究を推進していく．年度の最後に米国で，標数0と標数正の多重ゼータ値研究者が一堂に会し，お互いの進展，方法，今後の問題について議論を深める国際研究集会を開く．それによってまた次の5年の計画策定を行い，持続的な研究発展を目指す．若手の育成にも引き続いて力を入れていく．また，毎年のことであるが，計算機を用いた実験による現象の発見は研究推進の原動力となってきているので，この方面も力を入れ続ける．
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