| Project/Area Number |
21H04432
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
長田 博文 中部大学, 理工学部, 教授 (20177207)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
種村 秀紀 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 講師 (40217162)
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 名誉研究員 (60112174)
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
笹本 智弘 東京科学大学, 理学院, 教授 (70332640)
長田 翔太 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 助教 (90901033)
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| Project Period (FY) |
2021-04-05 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2025)
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| Budget Amount *help |
¥41,340,000 (Direct Cost: ¥31,800,000、Indirect Cost: ¥9,540,000)
Fiscal Year 2025: ¥10,010,000 (Direct Cost: ¥7,700,000、Indirect Cost: ¥2,310,000)
Fiscal Year 2024: ¥10,010,000 (Direct Cost: ¥7,700,000、Indirect Cost: ¥2,310,000)
Fiscal Year 2023: ¥9,620,000 (Direct Cost: ¥7,400,000、Indirect Cost: ¥2,220,000)
Fiscal Year 2022: ¥5,720,000 (Direct Cost: ¥4,400,000、Indirect Cost: ¥1,320,000)
Fiscal Year 2021: ¥5,980,000 (Direct Cost: ¥4,600,000、Indirect Cost: ¥1,380,000)
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| Keywords | 無限粒子系 / ランダム行列 / 確率解析 / 確率幾何 / 統計物理 / 無限次元確率微分方程式 / Dirichlet形式 / 対数微分 / 可解モデル / クーロンポテンシャル / 干渉ブラウン運動 |
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| Outline of Research at the Start |
無限粒子系の確率解析学を発展させ、様々な問題に応用する。クーロンポテンシャルに代表される、遠距離で強烈な相互作用を持つ干渉ポテンシャルの下で無限粒子系のランダムな時間発展を研究し、様々な新奇現象を探求する。ガウス型ランダム解析関数の零点や無限次元SLEに応用して世界を大きく広げる。新展開において無限粒子系の世界は、いわば全宇宙であり、それを記述する確率解析学を作り上げる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
干渉ブラウン運動のエルゴード定理を一般的に証明した。相互作用粒子系が示す相分離現象において、巨視的な界面は平均曲率運動することが知られているが、特に界面が定常かつ平坦である場合にその揺動について調べ、線形の確率偏微分方程式を導いた。経路に依存する非マルコフ過程の一例であるElephant Random Walk (ERW) についての研究を行った。過去の記憶の選び方が冪分布に従い、正の方向に進むか同じ位置に止まるかを決めるというモデルを導入し、冪指数βと進む確率pを変えることにより3つの相が現れることを示し、各々の相でのERWの漸近挙動を示した。量子ラビ模型の基底状態とそのスペクトルゼータ関数について，経路空間表示など確率論的手法を用いて解析した．また，非可換調和振動子の2フォトン量子ラビ模型の関係による直積分による表示を与えて，スペクトルゼータ関数の漸近挙動を調べた．非エルミート行列値ブラウン運動の固有値過程を与える確率微分方程式は、左および右固有ベクトルから定義されるオーバーラップを成分に持つエルミート行列値プロセスと結合する。確率過程としては、後者は固有値過程に対する時間変更を与えるが、それに対応した空間的拡張や幾何学的変形を表現するのが擬スペクトルという領域と考えられる。我々は欠損度が時間的に緩和する行列値力学模型を考案し、擬スペクトルの時間変化の様子を明らかにした。半無限空間における対称排他過程の大偏差関数を決定することに成功した。これは、全空間における同様の問題に対し、古典可積分系との対応をつけて解析を行う方法を以前開発していたが、その拡張を行うことで可能となったものである。こちらの成果に関してはすでに論文が出版済みである。また空間を離散的にした場合の解析の検討を進めた。こちらについては現在論文を準備中である。その他量子多体系の揺らぎに関する研究も行なった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の主目的の一つは、干渉ブラウン運動という無限粒子系の確率力学に対して、普遍的確率微分方程式と最適確率微分方程式が何かを解明し、これらの概念を確立することであった。干渉ブラウン運動を、その平衡状態（点過程）によって３つの範疇に分類する。ポテンシャル型、核関数型、ランダム解析関数型である。第一のクラスに対しては、過去2年間に、非常に強烈な、平衡状態の対数微分に対する普遍的な不等式を得た。その結果、調和関数、あるいは、劣調和関数の構造を持つ干渉ポテンシャルに対して、対数微分の存在を示し、それを用いて、確率微分方程式を構築し確率力学を構成できた。これは、非常に一般的な構成定理であり、確率微分方程式も点過程から、一般に決まるものである。対数微分を通して、同様の確率微分方程式を他の点過程のクラスに対しても、考える事ができる。従って、普遍確率微分方程式とみなしてよい一般的な構造である。次に、対数微分のquenchな評価を編み出し、対数微分の明示表現を得た。その結果、確率微分方程式が、一意的強解を持つことを証明した。
この明示表現は、強相互作用ポテンシャルに対して、古典的なDLR方程式に匹敵する精密な情報を有しており、有効な方程式を構築することに成功した。従来は、クーロンポテンシャルは、自然界の最重要なポテンシャルであるにも関わらず、除外されてきた。我々の成果は、この状況を劇的に変えるものである。
局所エルゴード性や、局所既約性という一般かつ自然な条件の下で、2種類のエルゴード定理を、干渉ブラウン運動に対して証明した。時間非一様Dirichletに対する、両立性の理論を構築した。これは、干渉ブラウン運動の研究を、豊かに進化させるものである。現時点で、クーロン干渉ブラウン運動を記述する無限次元確率微分方程式に対する長い論文を書き上げている最中だが、他の結果も、順次、論文にしていく予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
無限粒子系の確率解析学というのが、本研究の基礎となる方向性である。その中で、従来の研究によって、無限粒子系に対する「両立性による解析」という一般的な方法が得られた。「両立性による解析」とは、粒子の空間の対称性を用いたスキームを、問題に応じて考えるもので、これまでに、例えば、第１tail定理、第2tail定理と呼ぶ切れ味のある定理を発見し、それを用いて、無限次元確率微分方程式の強解の存在と一意性に代表される、従来の理論では、手の届かない結果を証明してきた。
1粒子の問題、つまり、通常のユークリッド空間の問題はすべて、対応する問題を無限粒子系の世界で展開することが可能である、というのが基本思想であり、この思想を、無限粒子系の空間のエルゴード定理や、tagged粒子問題の2次元における劣拡散性を示すことで、実行してきた。これ以外に、様々な興味深い問題を、無限粒子系の空間で考えることができる。それらに取り組んでいく。特に、クーロン点過程や、ガウス型解析関数の零点、行列式点過程など、遠距離の強い相互作用を持つ無限粒子系に対して、その相互作用を反映した新奇な現象を解明していく。
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