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ゲージ群とリー群の可換元のなす空間のホモトピー論

Research Project

Project/Area Number 21J10117
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionKyoto University

Principal Investigator

武田 雅広  京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)

Project Period (FY) 2021-04-28 – 2023-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help
¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2022: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Fiscal Year 2021: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Keywordsリー群 / 写像空間 / ホモトピー余極限 / 不変式環
Outline of Research at the Start

リー群の可換元のなす空間は、トーラス上の平坦束のある種のモジュライ空間と同一視されることから、幾何学・物理学において重要な研究対象である。さらに、近年の研究から、この空間と表現論や組み合わせ論などとの深い関係も明らかになった。その一方この空間の解析には多くの課題が残っている。
本研究では代数トポロジーを用いてこの空間を解析し、様々な応用へとつなげることを目標とする。

Outline of Annual Research Achievements

私はリー群の可換元のなす空間に関しての研究および、それに関連してStanley Reisner環のSteenrod問題の研究を行った。
リー群の可換元のなす空間に関する研究では、リー群の可換元のなす空間から分類空間の間の写像空間への写像の解析を行った。この写像は、幾何学的には平坦束のある種のモジュライと束のある種のモジュライの関係に対応している写像であり、曲面上の束に対応する場合には、AtiyahとBottにより有理ホモロジーに導く写像が全射になることが知られている。私は共同研究者とともに異なるアプローチで高次トーラスに対応する場合に、いつ有理ホモロジーに導く写像が全射になるかを判定し、その結果を論文にまとめ、arxivに公開した。
その他同時進行でリー群の可換元のなす空間の新たな分解とその応用に関して研究を行った。新たな分解方法に関してはほぼ完成しており、サスペンション分解と組み合わせることで応用を得る方法を研究している。このことに関しては、これからも引き続き研究を進める。
Stanley Reisner環のSteenrod問題に関する研究では、1本の論文を出版するに至った。Steenrod問題とはどのような次数付き環が空間のコホモロジー環として現れるか、という代数トポロジーの古典的な問題である。この問題は多項式環の場合には完全に解決されている。私はこの問題をStanley Reisner環という環について考えた。ホモトピー余極限での空間の構成や、古典的な不変式論の結果を用いることで、ある条件の下での必要十分条件を与えることに成功した。その結果は論文にまとめ、arxivに公開した。
また一方で今年度はコロナ禍の影響が薄れたことで、数々の研究集会がオフラインで開催された。それらに参加し、リー群の可換元のなす空間の研究などについて、様々な研究集会において計13回公演させていただいた。

Research Progress Status

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(2 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • Research Products

    (23 results)

All 2023 2022 2021

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 4 results) Presentation (18 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] Tverberg's theorem for cell complexes2023

    • Author(s)
      蓮井翔、岸本大祐、武田雅広、蔦谷充伸
    • Journal Title

      Bulletin of the London Mathematical Society

      Volume: - Issue: 4 Pages: 1944-1956

    • DOI

      10.1112/blms.12829

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Steenrod problem and some graded Stanley-Reisner rings2023

    • Author(s)
      武田雅広
    • Journal Title

      Algebraic & Geometric Topology

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The space of commuting elements in a Lie group and maps between classifying spaces2023

    • Author(s)
      岸本大祐、武田雅広、蔦谷充伸
    • Journal Title

      -

      Volume: -

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Journal Article] Homotopy types of gauge groups over Riemann surfaces2022

    • Author(s)
      Masaki Kameko, Daisuke Kishimoto, Masahiro Takeda
    • Journal Title

      Algebraic & Geometric Topology

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Homotopy commutativity in Hermitian symmetric spaces2022

    • Author(s)
      Daisuke Kishimoto, Masahiro Takeda, Yichen Tong
    • Journal Title

      Glasgow Mathematical Journal

      Volume: -

    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Torsion in the space of commuting elements in a Lie group2023

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      代数トポロジー若手情報交換会
    • Related Report
      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Steenrodの問題とStanley-Reisner環2023

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      第10回(非)可換代数とトポロジー
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      2022 Annual Research Report
  • [Presentation] Steenrodの問題とStanley Reisner環2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      トポロジー金曜セミナー
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  • [Presentation] Torsion in the space of commuting elements in a Lie group2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      変換群論の新潮流
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  • [Presentation] The Steenrod problem and some graded Stanley Reisner rings2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      ホモトピー沖縄2022
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  • [Presentation] Cohomology of the spaces of commuting elements2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      Classifying spaces in homotopy theory
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    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Torsion in the space of commuting elements in a Lie group2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      Aberdeen Mathematics Events
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  • [Presentation] Steenrodの問題とStanley-Reisner環2022

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      武田雅広
    • Organizer
      KTGU学生談話会
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  • [Presentation] リー群の可換元のなす空間のコホモロジー2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      愛媛大学数学談話会
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  • [Presentation] The Steenrod problem and some graded Stanley-Reisner rings2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      URegina Topology Seminar
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  • [Presentation] リー群の可換元のなす空間のコホモロジー2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      信州トポロジーセミナー
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  • [Presentation] The Steenrod problem and graded Stanley Reisner rings2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      ホモトピー論シンポジウム 2022
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  • [Presentation] Steenrod problem and some graded Stanley Reisner rings2022

    • Author(s)
      武田雅広
    • Organizer
      Advances in Homotopy Theory III
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      2022 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Torsion in the space of commuting elements in a Lie group2021

    • Author(s)
      Masahiro Takeda
    • Organizer
      京都大学代数トポロジーセミナー
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  • [Presentation] Cohomology of the spaces of commuting elements in a Lie group2021

    • Author(s)
      Masahiro Takeda
    • Organizer
      第68回トポロジーシンポジウム
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      2021 Annual Research Report
  • [Presentation] Spaces of commuting elements in a Lie group I2021

    • Author(s)
      Masahiro Takeda
    • Organizer
      ホモトピー論シンポジウム2021
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Torsion in the space of commuting elements in a Lie group.2021

    • Author(s)
      Masahiro Takeda
    • Organizer
      INTERNATIONAL POLYHEDRAL PRODUCTS SEMINAR
    • Related Report
      2021 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] リー群の可換元のなす空間のホモトピー論2021

    • Author(s)
      Masahiro Takeda
    • Organizer
      数学・数理科学専攻若手研究者のための異分野・異業種研究交流会2021
    • Related Report
      2021 Annual Research Report

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Published: 2021-05-27   Modified: 2024-03-26  

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