代数曲線のm次可解Grothendieck予想について
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21J11884
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山口 永悟 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2023-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥1,500,000 (Direct Cost: ¥1,500,000)
Fiscal Year 2022: ¥700,000 (Direct Cost: ¥700,000)
Fiscal Year 2021: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
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| Keywords | 数論幾何 / 遠アーベル幾何学 / グロタンディーク予想 / 副有限群 / 有限次可解商 / エタール基本群 / Grothendieck予想 / m次可解Grothendieck予想 / 最大m次可解商 |
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| Outline of Research at the Start |
数学では、ある対象を調べることが困難である場合、まずそれに付随するより簡単な構造をもった対象について調べ、元の空間の構造を推察するという手段が多く取られる。申請者が研究する分野では、曲線を調べる代わりに基本群と呼ばれる対象を調べる手法が存在する。
一見すると情報が落ちてしまっているこの手法であるが、実は次のような定理が証明されている。
Grothendieck予想「双曲曲線の幾何学的構造は基本群から完全に決定される」
よって曲線の解明には基本群の解明で十分であると考えられるが、本研究では、曲線を調べるには基本群より小さなm次可解商と呼ばれる対象を調べれば十分である、という予想について考察してく。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主たる対象は、遠アーベル幾何学での重要な予想であるグロタンディーク予想のm次可解化である。具体的には「ある特定の代数多様体の幾何的な情報は、その数論的エタール基本群の最大幾何的m次可解商から群論的に復元できる」という予想(以下、m次可解グロタンディーク予想)の解決を目指した。代数多様体の幾何的な情報というのは数学では非常に重要な研究対象であるが、それをより簡単な群論から復元できるというのがこの予想の重要な点であり、さらに有限次可解商まで落とし込むことにより、計算機方面を使った応用にも対応できるという大きな利点がこの予想には存在する。
本研究ではm次可解グロタンディーク予想を次の場合に解決した(以下、双曲的代数曲線のみを考え、gは種数、rはカスプの濃度を表す)。「係数体が有限体、m≧3」及び「係数体が素体上有限生成な体、m≧5」。さらに、「r≧3、(g,r)≠(0,3)(0,4)」という仮定の下では、次の結果の解決にも成功した。「係数体が有限体、m≧2」及び「係数体が素体上有限生成な体、m≧4」。これらの結果はすでに論文"The geometrically m-step solvable Grothendieck conjecture for genus 0 curves over finitely generated fields, arXiv:2010.00290"としてまとめており、現在は雑誌へ投稿中である。
また、本年度は北海道大学の第19回若手研究者集会や、九州大学のLow dimensional topology and number theory XIVで本研究内容を発表し、その際に他分野への波及についてのいくつかの可能性を得ることに成功した。遠アーベル幾何学に限らず、本研究を他分野へ広げられる可能性を得たことが、今回の最も重要な成果であると考える。
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| Research Progress Status |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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Report
(2 results)
Research Products
(6 results)
