| Project/Area Number |
21J21977
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大場 亮俊 東京大学, 情報理工学系研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2024-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2021)
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| Budget Amount *help |
¥2,500,000 (Direct Cost: ¥2,500,000)
Fiscal Year 2021: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
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| Keywords | グラフ理論 / グラフ剛性理論 / 半正定値計画問題 / スペクトラルグラフ理論 |
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| Outline of Research at the Start |
科学・工学の諸分野に現れる距離制約をもつネットワークについて、基礎的な解析理論を構築する。まず既存の半正定値計画問題を用いた解析アルゴリズムに対して、実代数幾何の理論を用いて理論保証を行う。続いて周期構造モデルについても既存の解析アルゴリズムを拡張し、同様の理論保証を行う。また調和解析を用いた解析手法と関連付け、周期構造モデルに関する統一的な理論を構築する。さらにこれらの研究の応用として、グラフ理論、離散幾何学への展開をする。具体的には彩色数の連続緩和に対する半正定値計画問題を用いた解析、グラフのスペクトルパラメータと幾何パラメータの関係性の究明、離散幾何学における接吻数の解析などに取り組む。
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| Outline of Annual Research Achievements |
周期性をもつ幾何ネットワークの半正定値計画問題(SDP)を用いた解析から派生し、折り畳み可能次元（実現可能次元）とよばれるグラフパラメータの解析を行った。これが本研究の主要な成果となった。
幾何ネットワークの折り畳み可能次元とは、その幾何ネットワークを、距離制約を満たしつつ折り畳むことのできる最小の次元である。グラフGの折り畳み可能次元は、Gに支持される幾何ネットワーク全ての折り畳み可能次元の最大値と定義される。Belk-Connellyはフレームワークを考えた際の、実現可能次元が1,2,3以下となるグラフの特徴づけを与えた。
我々はこれを周期フレームワークおよびテンセグリティへ拡張した。まず周期フレームワークに対しては、実現可能次元が1, 2以下となるグラフを特徴づけた。証明において、特定のグラフが超安定的な実現をもつことを用いており、この際SDPによる枠組みを用いている。
次にテンセグリティに対しては、多重グラフに対するパラメータとして実現可能次元を定式化した。まず実現可能次元が1以下のグラフの特徴づけを与えた。一方、実現可能次元が2以下のグラフの特徴づけは未解決で、ある6つのグラフをマイナーにもたないことと等価でないかとの予想に留まっている。これらの禁止マイナーに超安定的な実現が存在することは確認済みであるが、これらをマイナーにもたないグラフの構造が複雑なため折り畳み可能性が分かっていない。
一方でSDPの双対側から、与えられた多重グラフGをある次元に超安定的に実現できるかという問いに関係するパラメータが得られることを発見した。これをColin de Verdiereラプラシアン型パラメータとよび、実現可能次元の下界となることを示した。これに対しては1，2以下のグラフを特徴づけた。それは実現可能次元に対するもの（予想も含む）と同じである。
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| Research Progress Status |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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Report
(1 results)
Research Products
(5 results)
