準傾対象を用いた1次元岩永-Gorenstein環の表現論的研究

Research Project

Project/Area Number	21K03160
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	University of Yamanashi
Principal Investigator	山浦浩太山梨大学, 大学院総合研究部, 准教授 (60633245)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000) Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2021: ¥260,000 (Direct Cost: ¥200,000、Indirect Cost: ¥60,000)
Keywords	岩永-Gorenstein環 / Cohen-Macaulay加群 / 安定圏 / 三角圏 / 準傾対象 / t構造 / 変異
Outline of Research at the Start	三角圏において重要な対象の1つが準傾斜対象である. 準傾対象は環上の加群圏の導来圏の研究において導入された概念であり, 導来圏のt構造や完璧導来圏の傾対象の分類の中で重要な役割を果たしている. 近年, ある仮定の下で, 次数付き1次元岩永-Gorenstein代数上の次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏に, 自然な準傾対象が存在することが示された. そこで本研究では, 導来圏の構造研究における準傾対象の活用例をモデルとして, 安定圏の構造研究における準傾対象の活用について考察する. これにより準傾対象を用いた1次元岩永-Gorenstein代数の表現論の展開を試みる.
Outline of Annual Research Achievements	入射次元が1以下の正次数付き有限次元代数Aを次数付き1次元岩永-Gorenstein代数と呼ぶ。この代数の表現論における主要な研究対象は、次数付きCohen-Macaulay加群の圏、およびその安定圏SCM(A)である。安定圏は三角圏の構造を有している。本研究では三角圏を解析するための道具である準傾対象を用いて安定圏の構造解析を行う。本年度は以下の進展があった。Aの0次部分環が岩永-Gorensteinのとき、局所有限な次数付きCM加群の安定圏をL(A)と書く。L(A)は準傾対象を持つSCM(A)の三角部分圏である。本研究ではKoenig-Yangによって示された導来圏における準傾対象とt構造の1対1対応を参考に、L(A)の準傾対象とSCM(A)のt構造の対応を調べることを目的の1つに挙げている。これを特殊な自明拡大環のケースに考察した。 Rを岩永-Gorenstein代数とし、Cを入射次元1の両側余傾加群とする。このとき、RのCによる自明拡大環Aは次数付き1次元岩永-Gorenstein代数となる。もしRの大域次元が有限ならば、SCM(A)と有限生成R加群の有界導来圏との圏同値が存在し、研究目的はKoenig-Yangの結果に帰着される。そのためRの大域次元が無限である場合に考察を行った。その結果、先に触れた圏同値の類似として、次の結果を得た。以下の(1)(2)を満たすSCM(A)の三角部分圏F(A)が存在する。(1)L(A)とF(A)は互いに直交する圏となっている。(2)F(A)によるSCM(A)のVerdier商は、有限生成R加群の有界導来圏と三角圏同値になる。しかも、F(A)の対象はCM R加群を用いて記述できる。この結果により、Rの大域次元が無限の場合でもRの表現論を参考にして研究を進めることが可能となった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 一部の研究で進展があったものの、研究目的に対する一般論を構築が出来ておらず、研究の進度はやや遅れている状況にある。
Strategy for Future Research Activity	昨年度の報告でも述べた準傾対象の集合に対する研究は進展しておらず、その研究に引き続き取り組む。また、今回進展が見られた安定圏における準傾対象とt構造の対応に関する研究も継続する。現在、本年度に得られた結果を参考にして、具体例の準傾対象とt構造を計算することで一般論構築の資料を収集している。これに引き続き取り組む。さらに本年度に示した結果はCが余傾加群であることを仮定しているが、この仮定を除外し、より汎用性の高い結果に一般化することを試みる。