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可換環論におけるヒルベルト函数論の展開

Research Project

Project/Area Number 21K03165
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionNihon University (2023)
Yamaguchi University (2021-2022)

Principal Investigator

大関 一秀  日本大学, 文理学部, 教授 (70445849)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Keywords可換環論 / 局所環 / ヒルベルト函数 / ヒルベルト係数 / Rees代数 / 随伴次数環 / Sally加群 / 重複度
Outline of Research at the Start

本研究の目的は代数学の一分野である可換環論の発展を目指すものであり,ヒルベルト函数の理論を積極的に用いる点が特徴である。ヒルベルト函数とは,可換環やイデアルの構造を数値化する函数であり,それらの構造を解明・分類する際に非常に強力な武器となる。
現在,国内外の多くの可換環論研究者によって様々な切り口でヒルベルト函数の構造研究が実施されているが,本研究は,それらの中でも飛躍的な発展を遂げている「課題1:巴系イデアルのヒルベルト函数の挙動研究」および「課題2:第1および第2ヒルベルト係数による随伴次数環の分類(Sally加群の視点から)」を研究対象に絞り,集中的に問題解明に着手する。

Outline of Annual Research Achievements

本研究は、代数学の可換環論の発展を目的とするものである。ヒルベルト函数とは、イデアルの構造を端的に表現するような函数であり、可換環論では、ヒルベルト函数を用いたイデアルの構造の分類が長きに亘り実施されてきた。本研究の目的は、ヒルベルト函数の理論を積極的に活用して、ネーター局所環に含まれる準素イデアルの構造を分類することにある。
当該年度は、前年度までの研究に引き続き、ヒルベルト函数による随伴次数環の構造研究を実施した。特に、第1オイラー標数によるイデアルの随伴次数環の深さの決定と、節減数や第1ヒルベルト係数によるStretchedイデアルの構造の解明について、細部の考察を行いながら研究成果の纏めを行った。その過程において、これまでは、小さい値の第1オイラー標数によって随伴次数環の深さの決定する為の十分条件のみ得られていたが、これを必要十分条件として完結させることが出来た。
また、当該年度の7月から日本大学文理学部の客員研究員として滞在しているHoang Le Truong氏(Institute of Mathematics, VAST・日本大学)との国際共同研究を定期的に実施した。その中で、正準イデアルのSally加群の構造や、第1および第2ヒルベルト係数の偏差によるネーター環の構造の決定といった新たな課題にも着手する運びとなった。
当該年度は、1件の報告集(査読無)による成果報告を行った。さらに4件の学会・研究集会における口頭発表を実施した。そのうち、1件が国際会議の招待講演であり、1件が国内セミナーでの招待講演であった。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

概要にて述べた通り、国際会議の招待講演を含めた4件の研究成果発表を行い、1件の報告集を発表した。前年度までの研究成果を深化発展させながらその内容を纏めると共に、国際共同研究による新たな課題に着手することが出来た。
以上の理由から、本研究はおおむね順調に進展していると考えられる。

Strategy for Future Research Activity

Hoang Le Truong氏との国際共同研究を引き続き実施する。本年度から新たに着手した正準イデアルのSally加群の構造と第1および第2ヒルベルト係数の偏差に関する研究打ち合わせを定期的に実施する。氏は、令和6年7月に帰国予定であるが、帰国後もオンラインや海外出張にて議論を継続する予定である。
また、国内では早坂太氏(岡山大学)と遠藤直樹氏(明治大学)は、本研究対象であるイデアルの随伴次数環の構造に精通していることから、両氏との定期的なセミナーおよび研究打ち合わせについても、今後の本研究の推進方針の一つとして実施する。
得られた一連の研究内容を、日本数学会、可換環論シンポジウムといった国内の学会・研究集会で成果発表を行い、最終的には学術論文として国際数学専門雑誌に投稿する予定である。

Report

(3 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (12 results)

All 2024 2023 2022 2021 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 3 results)

  • [Int'l Joint Research] Institute of Mathematics, VAST(ベトナム)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Journal Article] The first Euler characteristic and the depth of associated graded rings2024

    • Author(s)
      Kazuho Ozeki
    • Journal Title

      第55回環論および表現論シンポジウム報告集

      Volume: 1 Pages: 89-96

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Journal Article] The reduction number of stretched ideals2022

    • Author(s)
      OZEKI Kazuho
    • Journal Title

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      Volume: 74 Issue: 4 Pages: 1021-1045

    • DOI

      10.2969/jmsj/86498649

    • ISSN
      0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The First Hilbert Coefficient of Stretched Ideals2022

    • Author(s)
      Ozeki Kazuho
    • Journal Title

      Acta Mathematica Vietnamica

      Volume: 47 Issue: 1 Pages: 251-267

    • DOI

      10.1007/s40306-021-00470-x

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] The first Hilbert coefficient and the reduction number of stretched ideals2023

    • Author(s)
      Kazuho Ozeki
    • Organizer
      第9回日中韓環論国際シンポジウム
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The first Euler characteristic and the depth of associated graded ring2023

    • Author(s)
      Kazuho Ozeki
    • Organizer
      第55回環論および表現論シンポジウム
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] 第1オイラー標数と随伴次数環の深さについて2023

    • Author(s)
      大関 一秀
    • Organizer
      日本数学会2023年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] The first Euler characteristic and the depth of associated graded ring2023

    • Author(s)
      大関 一秀
    • Organizer
      特異点セミナー
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Stretched idealの第1ヒルベルト係数について2022

    • Author(s)
      大関 一秀
    • Organizer
      東京可換環論セミナー
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] The first Hilbert coefficient of stretched ideals2022

    • Author(s)
      大関一秀
    • Organizer
      日本数学会2022年度年会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] Stretched idealの随伴次数環の構造について2021

    • Author(s)
      大関一秀
    • Organizer
      オンライン可換環論セミナー2021
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] The reduction number of stretched ideals2021

    • Author(s)
      大関一秀
    • Organizer
      日本数学会2021年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2021 Research-status Report

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Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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