| Project/Area Number |
21K03168
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
津村 博文 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (20310419)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 代数学 / 整数論 / ゼータ関数 / 多重ゼータ値 |
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| Outline of Research at the Start |
レベル2の多重ゼータ値である多重T値の張る空間の次元の考察が重要な課題とされている. それに関して, 数値実験による予想がたてられているが, 定式化が難しい. その理由としては, 多重T値の満たす関係式が十分に得られていないことに起因する. 本研究ではその進展をめざす.
ルート系のゼータ関数の理論で重要となる関数関係式は, ルート系固有の性質から導かれるもので, とくにC型のルート系を考えることで, その多重ゼータ値への応用も得られている. ただ, この方面の研究はまだ限られたものしか考察が進んでいないので, さらなる進展をめざす.
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023年度の研究成果としては、まず第1に、松本耕二氏（愛知工業大学教授）および小森靖氏（立教大学教授）とで共同執筆をつづけてきた英文の著書「The theory of zeta-functions of root systems」が Springer Monographs in Mathematics Series から出版されたことである. これまでにルート系のゼータ関数に関する類書は無かったが、本著書は解析的、代数的および組み合わせ論などの基礎的な事項から解説し、基本的に self-contained で最先端の研究領域まで到達することを目的に執筆されたものである。
第2のこととして、金子昌信氏（九州大学教授）との共同研究で、レベル２および４の多重L値に関する研究が進展したことで、その結果をまとめた論文が Tohoku Mathamatical Journal に間もなく出版予定である。この研究は、これまで一般のレベルの多重L値に関する結果に一般化できる筋道が見えていなかった部分に光を当て、どのような形で理論的な構築をすれば、筋の良い拡張ができるかの見通しを与えるもので、既に本研究分野においても、関連の研究に取り組んでいる研究者が出てきており、今後の更なる発展が期待できる。
第3のこととして、金子氏との共同研究で、古典的によく知られている dilog の5項関係式を含むような多重ポリログの関係式族を与えることができた。関連の結果として2重ポリログの重み付き和公式も与えた。これは大野-Zudilinによって証明されたものを含んでいるが、それにとどまらず、既知であるレベル2,3,4の二重ゼータの重み付き和公式も含んでいることが確認された。既に arXiv に論文をアップして、現在、専門誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
計画していた金子昌信氏との共同研究は、お互いの校務により、共同研究の時間が限られており、やや遅れていると思われる。共同研究を計画しているChapoton氏の執筆した、レベル2の多重T値の1-パラメータ補間に関する論文が Tsukuba J. Math. に出版され、さらにその2変数版に一般化したものについて、金子氏との共著論文を作成し、専門誌に投稿することができた。この方向の進捗状況は概ね順調であると言える。ルート系のゼータ関数をテーマとする研究は、松本氏、小森氏とともに執筆した上述の著書が出版されたため、順調に進展していると考えられる。研究計画の中の多重T値の張る空間の次元予想に関しては、まだ明示的なアプローチが見えてこない点から、やや停滞していると言わざるを得ない。ただ、多重ポリログの側面から、新たな方向への進展も見られているため、総合的にみると、本研究課題全体としての進捗状況はやや遅れているが、24年度に重点的に取り組み予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
2024年度は本研究の最終年度にあたるため、これまで得られた結果を、学会、研究集会などで成果を発表する機会を持つ予定である。既に10月に京都大学数理解析研究所で開かれるRIMS研究集会「解析的整数論とその周辺」において、代表世話人から招待講演を打診されており、これまでの成果を発表できると考えている。とくに高いレベルの多重L値の研究を進めていきたい。関連してそれを含むような多重ポリログ型の級数への拡張が可能とみられるため、その方向への進展を目指す。既に上述したように、古典的によく知られた dilog関数の5項関係式を含むような2変数の多重ポリログの間の関係式も見つかっており、関連分野の専門家の意見も聞きながら、金子氏と共に研究を継続する予定である。とくに2024年3月に東北大学で開催された「青葉山ゼータ研究集会」では、現時点で得られている「多重ポリログの間の関係式」についての招待講演を行った。
またルート系のゼータ関数の研究に関しては、近年の研究で、いわゆるOhno関数、シューア多重ゼータ関数などとの関係など、その応用も成果になりつつある。関連して、ポリベルヌーイ数の一般化がいろいろと構成されているが、ルート系に付随するような、本来の定義の自然な一般化とみられるような構成法が見つかっているため、その方向の研究を進めていきたい。
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