| Project/Area Number |
21K03174
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
桑原 敏郎 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60524725)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 頂点代数 / 共形場理論 / シンプレクティック特異点 / ヒルベルトスキーム / 複素鏡映群 / 変形量子化 / BRSTコホモロジー / シンプレクティック特異点解消 / アフィンリー代数 / カイラル微分作用素 / グラスマン多様体 / 射影空間 / 量子化 / アフィンW代数 |
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| Outline of Research at the Start |
有限次元単純リー群・リー代数は数学的対象の対称性を記述する代数構造として表現論のみならず数理物理・可積分系などにおいても重要な研究対象であるが、ある種のシンプレクティック特異点の量子化として得られる代数はそのような単純リー群・リー代数を一般する代数構造を与える。
本研究ではシンプレクティック特異点のジェット束と呼ばれる無限次元ベクトル空間の量子化を考えることで、無限次元リー代数であるアフィンリー代数の表現論を拡張し、より広いクラスの無限次元対称性を研究することを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
Bonetti-Meneghelli-Rastelliらによる研究で、N=4超対称性を持つ4次元の共形場理論のヒッグズブランチに関連する位相的ツイストの境界に現れる2次元の共形場理論における頂点作用素超代数の構造が分析され、複素鏡映群によって分類される頂点作用素超代数が存在し、それらはβγ-bc系による自由場表示を持つこと、それらの随伴多様体がシンプレクティックベクトル空間を複素鏡映群で割った商空間に一致すると予想されている。
京都大学数理解析研究所の荒川知幸・ハンブルグ大学のSven Moellerとの共同研究では、複素鏡映群がn次対称群の場合に、それに付随する頂点作用素超代数をBRST簡約を用いて具体的な形で構成した。
この場合、頂点作用素超代数の随伴多様体と期待されるシンプレクティックベクトル空間の商空間は、n点のヒルベルトスキームというシンプレクティック多様体による特異点解消を持つが、我々の研究では、BRST簡約を用いてヒルベルトスキーム上にh-進頂点超代数を含む層を構成し、ある自然なトーラス作用による不変な大域切断のなす頂点作用素超代数として対称群に付随する頂点作用素超代数が得られることを主張している。実際に、我々の構成した頂点作用素超代数の随伴多様体がシンプレクティックベクトル空間の対称群による商空間に一致することが層としての構成から証明できるほか、βγ-bc系による自由馬表示が構成から自然に現れ、Bonetti-Meneghelli-Rastelliらによる表示と一致することが確認できる。
上述の共同研究によるこれらの成果は、プレプリントの形でarXivに発表したほか、論文を専門誌に投稿中である。また国内の研究集会「表現論の組合せ論的側面とその周辺」や南大阪代数セミナーなどで研究成果について講演を行なった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要において説明したとおり、国際共同研究の結果として着実な研究成果があがっており、その過程で必要な物品の購入や旅費のために研究費を活用できた。
そのため研究計画はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
複素鏡映群が対称群の場合にはBonetti-Meneghelli-Rastelliの頂点作用素超代数をn点のヒルベルトスキームに付随するBRST簡約を用いて具体的な形でヒルベルトスキーム上のh-進頂点超代数の層の形で構成することができた。引き続きこのような方向で研究を推進するためにも、対称群以外の複素鏡映群の場合に頂点作用素超代数を随伴多様体の特異点解消を行うシンプレクティック多様体上にh-進頂点超代数の層として構成したい。一方で、巡回群のような比較的単純な複素鏡映群でも、対称群の場合とは異なり、BRST簡約を用いた構成が適用できないことがすでに明らかになっているため、他の手段を検討する必要がある。巡回群の場合には、A型クライン特異点が構成するべき頂点作用素超代数の随伴多様体となるため、その上のh-進頂点超代数の層の具体的な表示を検討するのに扱いやすい対象である。そのため巡回群の場合を中心にBonetti-Meneghelli-Rastelliの頂点作用素超代数をA型クライン特異点解消の幾何とh-進頂点超代数の層を用いて研究することが次の具体的な目標のひとつである。
また対称群に付随する頂点作用素超代数の場合でも、その構造はかなり複雑で純粋に代数的な方法で表現論を扱うのは難しいと考えられる。我々の構成ではヒルベルトスキームの上の層として頂点作用素超代数を構成していることが研究の特色となっており、ヒルベルトスキームの幾何を用いて表現論の研究に応用することは次に検討するべき研究課題のひとつである。
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