| Project/Area Number |
21K03175
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
松田 茂樹 千葉大学, 統合情報センター, 准教授 (90272301)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | p進解析 / Wittベクトル / π指数関数 / 超距離解析 / Witt環 |
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| Outline of Research at the Start |
数論の研究では、実数体ないしは複素数体上の解析学だけではなく、有理数体を素数ｐについてのｐ進絶対値で完備化したｐ進体上の解析学が用いられる。そのｐ進解析における基本的な道具の一つにDwork指数関数があり、その一般化としてπ指数関数が研究され、幅広く使われてきた。本研究では、このπ指数関数を、ｐ進数体の代数的な研究の基礎となるWitt環の理論を一般化することで拡張し、その性質を調べ、数論の諸問題への応用する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
数論においては、有理数体の通常の距離についての完備化である実数体だけでなく、各素数ｐについてのｐ進距離についての完備化であるｐ進体についての理論が大切になる。ｐ進体に定まる距離は一般に超距離と呼ばれるものである。
本研究では古典的にはｐ進体の構成等に使われているＷｉｔｔ環の理論を一般化し、正標数の場合を含む超距離について完備な体である超距離体の上での解析学に応用することを目的にしている。昨年度は一般化されたＷｉｔｔ環の理論についての、Ｗｉｔｔ余ベクトルのなす加群およびＷｉｔｔ双ベクトルのなす環を構成し、その基本的な性質を調べた。今年度はその結果を用いて、できるだけ一般的な枠組みの中でＢａｌｄａｓｓａｒｒｉによりｐ進フーリエ解析の研究に導入されたプサイ関数の拡張の構成について考察を深めた。その結果、解析関数としての拡張は一般にはあまり自然ではなく、一般化にも制限がついてしまうこと、その代わりに連続関数であって双Ｗｉｔｔ環についてある性質を満たすものとして一般化することで、自然でよい性質を持つものが一意的に定まり、特殊な場合にはＢａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数と一致することがわかった。まだ一部確認できていないところもあるが, この一般化によりこれまでの一般化における制約をかなりなくすことができると思われる。
また今年度は高次元のＷｉｔｔベクトルについても定式化を行った。これについてはこれまでは従来のＷｉｔｔ環との類似から可換環の枠内での一般化のみを考えていたが, 非可換になる場合を含めることで, アルティン・ハッセの指数関数の持つ基本的な性質が高次元のＷｉｔｔ環の場合に拡張できることがわかった。
以上の結果の一部について, 北海道で開催された研究集会, Ｌ-Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｍｏｔｉｖｅｓ ｉｎ Ｎｉｓｅｋｏ ２０２２で発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数の一般化については, 従来あった制限をなくすための新たな拡張の方法が見つかったが, そのために確認しなければいけない事項も増えたために, 少し理論の整理に時間がかかっている。
研究実施計画に記したＷｉｔｔ環の理論の高次元化については, 基本的な拡張の枠組が固まり, アルティン・ハッセの指数関数についても高次元のものが定義できて, 最低限満たすべき性質は成立することが確かめられた。ただし, パイ指数関数の構成はまだできていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数の一般化について, 例の構成も含めてきちんと整理する。これによりｐ進フーリエ変換の理論の一般化に進むことができる。また高次元の, つまり多変数のＷｉｔｔ環については, 非可換のＷｉｔｔ環の理論があるので, それとの関係を見ることで, より深い性質が得られパイ指数関数の理論につながると考えている。
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Report
(2 results)
Research Products
(1 results)
