シフト量子アフィン代数の表現論

Research Project

Project/Area Number	21K03178
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Shinshu University
Principal Investigator	和田堅太郎信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (60583862)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000) Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords	量子群 / 表現論 / テンソル圏 / リー代数 / ヘッケ代数 / リー環 / ヘッケ環
Outline of Research at the Start	シフト量子アフィン代数は, 数理物理に現れるクーロン枝を動機の１つとして最近導入された量子群の１種である。その表現論はまだあまり調べられていないので, その基礎付けを行うことがひとつの目標である。特に, 本研究の動機の１つとなっている, 巡回 q-Schur 代数の表現論との関係を雛形とし, シフト量子アフィン代数の余積構造, 及び表現のなす圏上のテンソル圏としての構造が持っている性質を明らかにし, その応用を探ることを目指す。
Outline of Annual Research Achievements	前年度に引き続き, シフト量子アフィン代数の構造論, 及び表現論に関して研究した。前年度は, Ariki-Koike 代数 ((G(r,1,n)型の巡回ヘッケ代数) との間の Schur-Weyl 双対を構成し, その表現論や構造論に関する考察を行った。これは古典的な Schur-Weyl 双対, 及びその q-類似の自然な拡張となっており, シフト量子アフィン代数の表現圏における"テンソル圏" としての構造より得られるものであるが, Schur-Weyl 双対に現れるシフト量子アフィン代数の表現は(重要な部分を占めているはずであるが)非常に限られたものであるので, そこでの議論を一般の表現まで拡張するのに必要な事柄について整理を行った。まとまった結果を得るまでには至っていないが, シフト量子アフィン代数の表現圏の"テンソル圏" としての性質を調べるための方針を整理し, それらを行うのに必要となるいくつかの道具を得ることができた。また, 上記のSchur-Weyl 双対では, 限られたシフトしか用いておらず, 前年度はそのようなシフトに集中していたが, 今年度は一般のシフトに対しても, 対応すべきリー環を導入することができた。このことによって, より一般の設定でテンソル圏としての構造を調べる手段を大きく広げることができた。(一般にはリー環の表現圏の方がテンソル圏としての構造は理解しやすく, 量子群の表現圏の構造を調べる際に, 大きな手助けとなる)
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason シフト量子アフィン代数の表現圏上の"テンソル圏"としての構造を調べるための方針を立て, そのために必要な道具が得られた。
Strategy for Future Research Activity	研究計画に基づき, シフト量子アフィン代数の表現論を, "テンソル圏"としての性質を利用して調べていく。