| Project/Area Number |
21K03178
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
和田 堅太郎 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (60583862)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 量子群 / ヘッケ環 / 表現論 / テンソル圏 / リー代数 / ヘッケ代数 / リー環 |
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| Outline of Research at the Start |
シフト量子アフィン代数は, 数理物理に現れるクーロン枝を動機の１つとして最近導入された量子群の１種である。その表現論はまだあまり調べられていないので, その基礎付けを行うことがひとつの目標である。
特に, 本研究の動機の１つとなっている, 巡回 q-Schur 代数の表現論との関係を雛形とし, シフト量子アフィン代数の余積構造, 及び表現のなす圏上のテンソル圏としての構造が持っている性質を明らかにし, その応用を探ることを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も、シフト量子アフィン代数の構造論, 及び表現論に関して研究した。
昨年度の段階で, Schur-Weyl 双対を通じて, cyclotomic q-Schur 代数の cell 加群をシフト量子アフィン代数の表現とみなしたときの q-指標を組み合わせ論を用いて記述し, さらに, 他のシフトに関するシフト量子アフィン代数の１次元表現とのテンソル積表現を考えると何が起きるかについてある程度理解できていた。それを踏まえ, 今年度は, cyclotomic q-Schur 代数の cell 加群上のシフト量子アフィン代数の作用をより詳細に調べることによって, 分離条件下におけるcell加群と他のシフトに関する1次元表現とのテンソル積表現の構造を完全に記述し, その応用として, 一般のシフトに対するシフト量子アフィン代数のあるクラスの有限次元既約表現の Drinfeld 多項式とq-指標を組み合わせ論を用いて具体的に記述することができた。その過程で, q-指標の記述のみではなく, シフト量子アフィン代数の作用も完全に記述できていることにより, これらの結果は, 今回扱っていないクラスの表現を調べる際にも非常に有効な道具となる。
また, シフトを全て動かしたシフト量子アフィン代数の加群圏の構造を調べる際には, そのテンソル積の構造が非常に重要となり, 特に, "R-行列" がテンソル積表現の構造を制御することが期待される。しかし, 現時点でのシフト量子アフィン代数の定義は量子ループ代数をシフトしたものとして定義されており, いわゆる, Drinfeld-Jimbo 余積から従う余積構造, 及びそれに付随した”R- 行列"を考えるには, 現時点での定義では不十分である。この問題に関しても考察し, 一定の方向性(可能性) を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
目標としていた, A型のシフト量子アフィン代数の表現論の中で, cyclotomic q-Schur 代数の表現に由来する部分についてはほぼ理解でき, 組み合わせ論を用いた具体的な記述を与えることができた。その過程も合わせ, 一般の有限次元表現を調べるための方針やその基本となる道具も整備することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで得られた結果を踏まえ, 引き続き, シフト量子アフィン代数の表現論を調べていく。また, 得られている結果をきちんとまとめた上で, 今後の課題とその解決に向けた方針を整理していく。
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