| Project/Area Number |
21K03179
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
三井 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 代数多様体族 / トーサー / 主等質空間 / モデル / 代数群 / Galoisコホモロジー |
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| Outline of Research at the Start |
正規整スキーム上の代数群の一般ファイバーは関数体上の代数群である．本研究では，関数体上の代数群のトーサーから作られる正規整スキーム上の代数群が作用するモデルを考察する．モデルは代数多様体族であり，底空間が代数多様体である場合は束構造を持つ代数多様体である．モデルの同型類はGaloisコホモロジーで分類されるので，リジッド幾何や形式幾何を応用しこれを研究する．モデルは有限群による商として得られるので，商特異点や商写像の分岐を調べてモデルの不変量を求める．これまでの研究で楕円曲面について不変量やトーサー上の閉点と特異ファイバーの関係を明らかにしてきた．これと類似した関係を探り一般の場合を研究する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
モデルの不変量を求める方法を確立するため商特異点や商写像の分岐を研究した．具体的には，共同研究者の伊藤浩行氏と正標数体上定義された曲面の純非分離作用と分離作用の関係について研究した．位数が標数pと等しい場合，純非分離作用は加法型p-閉微分作用素で記述でき，分離作用は擬微分作用素で記述できる．加法型p-閉微分作用素を擬微分作用素へ変形することで純非分離作用を分離作用へ変形できる．これまで，このような変形は少ししか知られていなかったが，解析的手法により新しい例を構成した．微分作用素は，大域的な場合より局所的な場合の方が自由度が高く分類が難しい．一方，局所的な場合の方が普遍性を持ち応用範囲が広い．局所的な場合として，代数的閉体係数の形式的冪級数環について上述の研究を行った．一次元の全ての場合については変形を構成できたので，特別な場合として二つの一次元への作用の積として得られる二次元への対角作用の場合も変形を構成できた．
また，商特異点の計算で培った手法を射影平面の二次被覆の研究へ応用した．具体的には，共同研究者の白根竹人氏と被覆上の因子的層の押し出しで得られる階数2ベクトル束の幾何学的不変量を調べた．特に，チャーン類を求める手法を確立したので，応用として与えられた不変量を持つ分裂しないベクトル束の構成方法も得られた．被覆が非特異な場合については既知の結果であるが，今回の研究は被覆が特異点を持つ場合についても研究した．特異点を持つ被覆には直線束でない因子的層が多く存在する．また，因子的層の線型結合について押し出しは複雑な振る舞いをする．一方，特異点における分岐は不変量について多くの情報を持っている．特異点から生じる局所的不変量を求める手法を確立し，有理特異点を含む場合に明示的公式を得た．また，局所的不変量から大域的不変量を計算する公式を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数多様体の退化のモノドロミー判定法に関する研究について，共同研究者が体調不良に陥り協力の得られない状況が続いていたが，ひとまず論文をまとめることができた．また，自身の異動に伴い一時的に研究が滞っているが，その他は順調である．一方，応用に関する共同研究については新しい展開があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き共同研究者の伊藤浩行氏と基礎体が正標数の場合に曲面の純非分離作用と分離作用の関係について研究する予定である．擬微分作用素で繋いだ純非分離商と分離商を用いて，特異点解消の双対グラフは一致するが解析的同型ではない特異点の組みが得られると期待できる．応用として，分離商に付随する不変量の困難な計算を比較的簡単な純非分離商の場合へ帰着する方法について研究する予定である．
さらに，共同研究者の佐藤信夫氏と加法型p-閉微分作用素の分類についても研究する予定である．形式的冪級数環について位数pの自己同型は完全には分類されていない．同様に，加法型p-閉微分作用素も分類されていない．電子計算機と数式処理ソフトを活用することで，一定条件の下，微分作用素がp-閉や加法型p-閉になるための必要十分条件を予想できているので，この研究を進める予定である．
また，共同研究者の黒田匡迪氏とGAPN（generalized almost perfect nonlinear）関数を研究する予定である．標数2のAPN（almost perfect nonlinear）関数の代数的性質を保つ奇標数への一般化としてGAPN関数が定義され研究され始めた．その中で，フェルマー曲線の有理点の個数と関係するなど標数3の特殊性を発見した．GAPN関数の分類は代数曲線の幾何学的既約性と関係している．幾何学的既約性は，これまでの研究で特異点の分布，局所的性質，Galois作用等と関係していることがわかっていたが，さらに，permutation polynomialやexceptional polynomialと関係させて研究できることがわかったので，引き続き標数3の場合に単項GAPN関数の分類を進める予定である．
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