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保型微分方程式の視点からの保型形式・準保型形式と頂点作用素代数の対応に関する研究

Research Project

Project/Area Number 21K03183
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionKurume Institute of Technology (2022-2023)
Kyushu University (2021)

Principal Investigator

境 優一  久留米工業大学, 工学部, 任期付助教 (10815567)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywords保型線形微分方程式 / 準モジュラー形式 / モジュラー形式 / ヤコビ形式 / 頂点作用素超代数 / W代数 / 指標関数 / 頂点作用素代数 / 単純ヴィラソロ代数 / (準)モジュラー形式
Outline of Research at the Start

常線形微分方程式の解空間に「重み付き不変性」と呼ばれる性質を課したものを保型線形微分方程式と呼びます.
この保型線形微分方程式は,モジュラー形式と呼ばれる良い対称性を持つ関数や,頂点作用素代数の指標関数を解に持つことがあります.
特に,特定の場合において,モジュラー形式と指標関数が1対1の対応関係を持つことがあります.
このように,1体1の対応関係がある場合について,どのような特徴や性質があるのかを,保型線形微分方程式を用いて研究を行います.

Outline of Annual Research Achievements

本年度は,マックスプランク研究所のDon Zagier氏と大阪大学の永友清和氏との共同研究である保型線形微分方程式・作用素とRankin-Cohen括弧積に関する研究において,理論の更なる精密化及び修正を行なった.特に,概正則モジュラー形式と準モジュラー形式に対する正則射影(holomorphic projection)作用素についての対応及び付随する理論をより細密に研究した.この作用素と保型線形微分作用素との1対1対応についての記述及び理論に対する具体例を用いることにより理論の枠を正確に与えることができた.これらの研究結果においては,Transaction of A.M.S. に投稿中であり,現在修正の段階である.
また,永友清和氏との共同研究である伊吹山知義氏が与えた分数重さのモジュラー形式と単純ヴィラソロ頂点作用素代数の指標関数との対応関係については,論文構成をより簡潔に再構成している段階である.本論文も投稿準備中である.
また,頂点作用素超代数を念頭に,テータ群上での保型線形微分方程式を考察し,一般形を与えた.これは,Rankin-Cohen括弧積により記述可能である.しかしこの状態では微分方程式として持ちうる自由度が複数存在するため解の形を決定するには不十分である.ゆえに,(i) 超幾何型の線形微分方程式 であり (ii) 形式的冪級数解をもつ微分方程式においてのlog-form解の存在 を課して研究を行っている.この2条件により2階の保型線形微分方程式の解は1つの系列のみの存在であることを確認および具体的に記述した.これらは,大阪大学の永友清和氏と鹿児島大学の有家雄介氏との共同研究である.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

保型線形微分作用素に関する研究は概ね順調に進んでおり,論文出版までの道筋がついたが,テータ群上での保型線形微分方程式においては,モジュラー群の場合よりも自由度をもつパラメータが複数存在しており,これらのパラメタの制御及び制限を与える際の由緒正しいものとは何かを調査することに労力を要している.

Strategy for Future Research Activity

本研究課題における最終年度にあたるため,これまでの研究内容に関するまとめや研究課題についてのリストアップを行い,今年度において解決可能な課題と今後の継続課題とするもの等に分類し共同研究者等に助力を求めつつ研究を進めたいと考える.また,これまでの研究成果も論文化し論文雑誌に投稿を行う予定である.

Report

(3 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (15 results)

All 2024 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (5 results) Journal Article (1 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 1 results) Presentation (9 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 4 results)

  • [Int'l Joint Research] マックスプランク研究所(ドイツ)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] 華東師範大学(中国)

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] マックスプランク研究所(ドイツ)

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] マックスプランク研究所(ドイツ)

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] 華東師範大学(中国)

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Journal Article] Vertex operator algebras with positive central charges whose dimensions of weight one spaces are 8 and 162023

    • Author(s)
      Jiao Xiangyu、Nagatomo Kiyokazu、Sakai Yuichi、Shimakura Hiroki
    • Journal Title

      Journal of Algebra

      Volume: 614 Pages: 330-361

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2022.10.001

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Modular linear differential equations and vertex operator algebras2024

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      第3回仙台保型形式小集会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Modular linear differential equations and generalized Rankin-Cohen brackets2023

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      九州代数的整数論2023
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] On modular-form solutions of certain modular linear differential equations for cocompact groups2023

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      日本数学会2023年度年会
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] モジュラー線形微分方程式と頂点作用素代数について2023

    • Author(s)
      境 優一
    • Organizer
      ウインクあいちセミナー
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Modular linear differential equations and generalized Rankin-Cohen brackets2022

    • Author(s)
      Yuichi Sakai,Kiyokazu Nagatomo, Don Zagier
    • Organizer
      2022年度日本数学秋季総合分科会
    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Presentation] Modular linear differential equations and generalized Rankin-Cohen brackets2022

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      Conference in finite groups and vertex algebras
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Modular linear differential equations and generalized Rankin-Cohen brackets2022

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      早稲田整数論セミナー
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Modular linear differential equations and generalized Rankin-Cohen brackets2022

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型)「保型形式,保型L関数とその周辺」
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] On modular solutions of a certain modular linear differential equation for cocompact groups2022

    • Author(s)
      Yuichi Sakai
    • Organizer
      第146回日本数学会九州支部例会
    • Related Report
      2021 Research-status Report

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Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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