| Project/Area Number |
21K03184
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
西山 享 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70183085)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 旗多様体 / 多重旗多様体 / 余法束多様体 / Steinberg写像 / RSK対応 / 冪零多様体 / モーメント写像 / ヘッケ環 / 二重旗多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
多様体と呼ばれる高次元の「図形」が対称性を持つとき，同じような対称性を持つ部分を集めてそれを軌道と呼ぶ．このような軌道は一般に無限個あるが，有限個になっている場合には組合せ論的にみて非常におもしろい現象が起こっていることが多い．そのような例として置換とヤング盤の組との対応である Robinson-Schensted 対応がよく知られている．この研究ではそのような有限個の軌道が現れる二重旗多様体に関して組合せ論的な枠組みを確立し，その表現論的な性質を研究することを目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題では旗多様体やその直積の多重旗多様体 X への群作用が研究対象である．研究目標は，旗多様体への群作用の幾何学的な特徴を明らかにし，それを組合せ論や幾何学，表現論へ応用することである．たとえば群作用による軌道の不変量を用いた分類，その不変量を元にした軌道の次元や閉包関係，同変コホモロジー環の構造などが研究の対象である．とくに不変式論との関係，組合せ論との互恵的な関係を重視している．最終的目標は実リー群の表現や量子群の表現論への発展的な応用であるが，こちらは将来の課題である．
今年度は，共同研究者の L.Fresse (Univ. Lorraine, IECL) と共に，AIII 型対称空間に付隨する二重旗多様体 X = K/B_K x G/P 上の球部分群 K による軌道の有限性を箙の表現を用いて研究した．箙の表現は三重旗多様体の場合に Magyar-Weyman-Zelevinski によって使われていたが，対称対の二重旗多様体に本間大幹（九州大学）が応用した．我々は彼の結果を見直して，AIII型対称空間に付隨する有限型の二重旗多様体の分類を放物型部分群の言葉で書き直すことに成功した．さらに埋め込み定理を用いて，AIII型以外の有限型二重旗多様体の新しい例を多数得た．これは論文にまとめ現在投稿中である．
一方で，対称空間に付隨する旗多様体として種々のグラスマン多様体があり，そのコホモロジー理論（シューベルト解析）も本課題の重要なテーマである．これについてはザグレブ大学の Pavle Pandzic 教授，ランカスター大学の Kieran Clavert 研究員と共同研究を進めている．とくにコンパクト対称空間を旗多様体とみることで対称空間にもシューベルト解析を考えることができる．研究は順調に進んでいる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
田内大渡助教との実二重旗多様体上の幾何学に関するセミナーをほぼ毎週のように行い，多くの成果があがっている．とくに軌道の分類では複素旗多様体との関係がつくなど興味深い結果も得た．一方，Fresse 教授との共同研究では，二重旗多様体の研究の概説論文を書き，オンラインのセミナーで常に連絡を取りながら新しい話題を探索中である．対称空間に付隨したものではないような多重旗多様体の軌道の有限性や，AIII型以外の場合の二重旗多様体の分類などを研究中である．
共同研究者の P. Pandzic 教授は2023年度末に青山学院大学に3週間滞在し，共同研究をすすめた．種々のグラスマン多様体を含む，一般の旗多様体のコホロモジー環の構造，とくに生成元と関係式，クリフォード環の表現との関係など興味深い結果を得た．来年度（2024年度）はその研究結果をまとめて論文の形にしたいと考えている．
総じて研究はすべて順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
共同研究者の Fresse 教授とともに，箙の表現論を用いた二重旗多様体上の軌道に関する不変量（次元や閉包関係，シュプリンガーファイバーの情報）を明らかにしたい．また二重旗多様体という枠組みに捕らわれず，多重旗多様体でも有限個の軌道を持つような新たな枠組みを考え，そのような多重旗多様体の分類や，軌道の幾何学の研究につなげることを視野に入れている．箙の表現論をルート系やワイル群といった，より洗練された代数的な対象によって置き換えて，A型以外の二重旗多様体に応用することも考えられる．
対称空間に付隨する旗多様体として種々のグラスマン多様体（とその一般化）が知られているが，そのコホモロジー理論（シューベルト解析）も本研究課題の重要なテーマである．これについてはザグレブ大学の Pandzic 教授，ランカスター大学の Calvert 研究員との共同研究を進める．研究は順調に進んでおり，論文にまとめることを考えているが，同時に，グラスマン多様体に限らない一般の部分旗多様体のコホモロジー環の構造も研究してゆきたい．そのため，招聘や，共同研究者を訪問するなど科研費を有効に使う予定である．
最後に，現在進行形で進んでいる田内大渡助教との共同研究セミナーを今年度も続けて行う．テーマは実の二重旗多様体であり，複素数体上の二重旗多様体と異なり，ほとんど文献がない．これは研究にとっては大きなチャンスとも言えるので，積極的に基本的な理論を整備し，軌道の情報などのデータを蓄積，パイオニア的な研究へとつなげる．特に，実二重旗多様体の幾何学は非コンパクトリー群のユニタリ無限次元表現と密接に関わっているはずであり，その応用への期待は大きい．ある程度まで基礎的な研究が進んだところで結果を論文の形にまとめたい．研究集会などでも積極的に成果の報告を行う．
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