| Project/Area Number |
21K03187
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | D-elliptic sheaf / モジュライ / 有理点 / 大域体 / モジュライ空間 |
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| Outline of Research at the Start |
モジュライの有理点問題は、多項式を用いて表される方程式の解を求めるという観点かも、幾何的構造を分類するという観点からも、数論幾何における最重要課題のうちの１つである。本研究では、楕円曲線やアーベル多様体のモジュライ、およびその関数体類似の大域体上の有理点を理解することを目的とする。さらに、有理点に関する知見をもとに、Hasse原理などの数論的諸問題を開拓していく。同時に、高次元多様体の大域体上の有理点という難解な対象を理解する手掛かりを得る。また、代数体側と関数体側を比較し、両者の体の本質的な類似や相違について理解することを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
数論の分野では、楕円曲線やアーベル多様体は、代数的な観点からも幾何的な観点からも重要な研究対象である。また、代数体は関数体とよく類似していることが知られている。楕円曲線の関数体類似としてDrinfeld加群やelliptic sheafがあり、それらはよく似たガロア表現をもつ。また、QMアーベル曲面とD-elliptic sheafの類似も知られている。本研究は、特にQMアーベル曲面やD-elliptic sheafとの関連が深い。
本研究では今年度、D-elliptic sheafのモジュライの関数体上の有理点を決定することを目標に研究を行った。D-elliptic sheafから定まるガロア表現の像は、中心斜体Dの作用により、特殊な形状になる。その形状を群論的に解析し、指標の分類と組み合わせることにより、モジュライの有理点を調べることが可能となっている。D-elliptic sheafのレベルが複雑なとき、または特殊な条件下において、有理点が存在しない、あるいは自明な元のみから成る、という結果が期待される。
今回は、関数体側において、D-elliptic sheafの自己準同型や自己同型、D-elliptic sheafに附随するガロア表現や指標の局所的な振る舞い、有理点の定義体、およびD-elliptic sheafのモジュライの数論的性質を詳しく調べた。また、計算機を用いた数値計算を行い、Drinfeld-Stuhler曲線の局所体上の有理点の存在を様々な場合に調べた。そして、Drinfeld-Stuhler曲線の関数体上の有理点の非存在やハッセ原理の反例に関する重要な手がかりを得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
関数体側の基礎的な理論の部分で、問題が概ね解決したから。
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| Strategy for Future Research Activity |
D-elliptic sheafやそのモジュライに関して得た知見をもとに、関数体側の有理点やハッセ原理の反例を調べる。さらに、それらを手がかりにして、代数体側の進展も目指す。
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