L関数たちの集合に対する値分布とその応用

Research Project

Project/Area Number	21K03196
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Gunma University
Principal Investigator	名越弘文群馬大学, 大学院理工学府, 准教授 (70571165)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords	L関数 / ゼータ関数 / 値分布 / 同時確率密度関数 / 類数 / 差分独立性
Outline of Research at the Start	数論においては，L関数と呼ばれる重要な関数たちが知られている。また，単に各L関数を個別に扱うだけではなく，L関数たちの集合を考えることがしばしば重要であるということが知られている。本研究では，適当なL関数たちの集合を考えそれを値分布の観点から考察し，その結果として，関連する数論的定数たちについてランダムな興味深い現象を得ることを目指す。また，L関数の値分布に関して既に知られているいくつかのタイプの結果を応用し，L関数の独立性に関するいくつかの結果を導くことを目指す。
Outline of Annual Research Achievements	本年度においては主として2つの研究成果を得ることができた。リーマン・ゼータ関数やL関数たちの値分布論において、Voroninによって発見された普遍性定理やそれをさらに強くした同時普遍性定理と呼ばれるものが知られている。以前に、研究代表者は見正秀彦氏との共同研究により、実指標たちに付随するディリクレL関数たちの組たちの集合に対して、いわゆるd-aspectの同時普遍性定理や関連する結果たちを得ていた。それらの結果たちを部分的にでも改良することを目指したが、特に、ある極限において現れる多次元確率測度に対して同時確率密度関数が存在するという予想を証明することを目指した。それを目指して、まずは既知の関連結果たちやそれらの証明を調べてみた。1次元の場合には、関連する結果たちが国内外の様々な研究者によって得られていたが、多次元の場合には、ほとんど得られていない状況であることが分かった。また、複素変数の虚部を動かすといういわゆるt-aspectと呼ばれる場合が主に考察されてきたが、最近になってt-aspect以外の場合も考察されてきており、d-aspectの場合の結果もあった。そのため、まずはt-aspectで多次元の場合において考察を行った。そうして新たな2つの結果たちを得ることができた。1つは、リーマン・ゼータ関数の対数関数とその導関数に対するある複素2次元確率測度に関する同時確率密度関数の存在の結果である。もう1つは、複数個の適当なL関数たちの対数関数たちに対するある多次元確率測度に関する同時確率密度関数の存在の結果である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本年度に得られた成果の内容は、研究計画調書において申請期間の前半に予定していた内容の一部を含んでおり、また、申請期間の後半で予定していた内容の一部も含んでいる。研究計画調書に沿って文献を調べていく中で新たに得られた知識を使っており、研究計画調書を作成した当時には想定していなかった新たな研究成果を得ることができた。このように本年度の成果は全体としては当初に予定していたものや関連するものとなっており、そのため、研究としてはおおむね順調に進展していると考えられる。
Strategy for Future Research Activity	次年度においては、本年度に得られた成果たちを論文にまとめる。また、前年度に得られた成果たちについてまだ論文が完成していないものがあるが、その論文を完成させる。また、研究計画調書において残された課題を推進していくが、本年度の研究の際に生じた新たな課題にも着目する。当初の計画を大幅に変更する必要はない。