係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化と log 幾何
| Project/Area Number |
21K03199
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Section | 一般 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
|
|---|
| Research Institution | Hitotsubashi University |
|---|
Principal Investigator |
中山 能力 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (70272664)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
|
| Budget Amount *help |
¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
Fiscal Year 2025: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2024: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2023: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2022: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2021: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
|
|---|
| Keywords | アーベル多様体 / 対数幾何 / 代数幾何 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、係数環付き log アーベル多様体のモジュライ空間として構成することを目指す。係数環付き log アーベル多様体は、log 幾何の手法を用いて、係数環付きアーベル多様体と並行的に定義され、係数環付きアーベル多様体をその特別の場合として含んでいる。係数環付き log アーベル多様体の同型類の集合に空間構造を与え、従来理論のどれにもない特長を備えたコンパクト化されたモジュライ空間を構成することを目指す。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
当研究は係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、log 幾何を用い、係数環付き log アーベル多様体のモジュライ空間として構成し、その性質や関連する課題を調べ応用することを目指すものであった。2022 年度は、2021 年度に策定したおおまかな方針に基づいて細部の検証を続けた結果、その方針で空間自体の構成が達成できることを確認することができた。具体的には、まず同種を modulo としてモジュライ関手を書き直すことによって偏極が principal な場合だけを扱うことにでき、その場合の双対 log アーベル多様体を偏極の像として定義する。その上で、問題のモジュライ関手からすでに構成されている係数環なしの場合のモジュライ空間への、係数を忘れるという射を考え、それが相対的に表現可能であることを、２つの log アーベル多様体間の準同型のなす Hom 層の表現可能性に帰着させて示すことができた。これで空間自体は構成できたことになる。また先行研究では条件つきでしか確認できていなかった log Artin criterion を改良してそれを用いる形の別証明も得ることができた。さらにこの構成された空間が log smooth であることも、係数付き log アーベル多様体の無限小持ち上げの問題となるが、係数が持ち上げられることを東屋多元環の一般論を援用して示し、それを用いて確かめることができた。ただ以上のモジュライ問題の定式化では、log 幾何を用いない先行研究にならい、標数にあたる素数の集合を固定した上で、偏極がそれらと素であるという仮定を置いているが、その素数の集合を取り替えた場合も空間が同型になるのかどうかは完全にはわかっておらず、今後の研究課題である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当研究は係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、log 幾何を用い、係数環付きlog アーベル多様体のモジュライ空間として構成し、その性質や関連する課題を調べ応用することを目指すものであるが、2021 年度に決まった方針に基づき研究が進み、モジュライ空間自体の構成はでき、その基本性質を調べる段階に進んでいるため、おおむね順調であるといえる。
|
| Strategy for Future Research Activity |
2023 年度は、横浜国立大学、シカゴ大学の共同研究者と緊密に連絡を取り合い、2022 年度に構成できた係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化の基本性質や応用および関連する課題を研究する方針である。直接会合を持つことができない場合は、web 会議システムなどを利用して対応する予定である。
|
Report
(2 results)
Research Products
(5 results)
