On sums of arithmetic functions involving gcd-sum functions
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21K03205
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
木内 功 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30271076)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | gcd和関数 / 数論的関数 / squarefull numbers / cube-full numbers |
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| Outline of Research at the Start |
GCD和関数及び関連する話題の研究は、整数論において重要な研究課題の一つであり、多くの場合は、初等的な方法で興味深い結果が得られ、その活躍の分野は多岐にわたる。古典的な問題設定ながら、現在でも活発に研究が行われている点で重要な分野である。本研究の課題は、このような状況の中、現在までのGCD和関数の手法及び結果を新たなる対象と捉え、解析学（関数論、実解析、確率論等）の理論と初等的な理論を融合し、巧妙な計算方法を考察・考案することである。特に、GCD和関数の総和公式の誤差項と約数問題の誤差項が、ゼータ関数の零点、平均値定理、密度定理などの様々な結果と密接な関係があろうと予想できる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
GCD和関数(最大公約数を変数とする2変数関数の和関数をいう)を含む総和公式について、初等整数論の立場から考察する方法と解析的理論の立場から考察する方法がある。本研究ではこれらを融合することで、様々な数論的関数の性質を解明することにある。しかしながら、今年度の研究実績は、解析的な方法を利用して得られた結果となった。以下詳細に述べる。
１．Anderson-Apostol和はRamanujan和の一般化であり、様々な分野で用いられている。 本研究では、squarefull numbersを用いた2変数の2重和としてAnderson-Apostol和を定義して、2重和の部分和公式を解析学の方法とRiemannゼータ関数の解析的性質を利用して求めたものであり、昨年度の研究結果の一部改良を与えている。
２．昨年度の求めたsquarefull numbersに関する方法をcube-full numbersに適用したものであるが、まったく同様にはできず、解析的方法を駆使しながら求めた。
３．mn<xを満たすZm*Znの部分群の個数に関する和公式は, Sui-Liuによって最近、考察されている。ここでは、重み関数として対数関数を利用した和公式を求めた。このことで、彼らの結果の予想の確からしさを示した。さらに、Riemannゼータ関数の零点との密接な関係を示すまでには到達していないが、来年度を見据えて具体的に表記することを目指す。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究集会等に積極的に参加し、討論することで十分な知識と好奇心、発想が沸いている。また、出先にある豊富な情報（図書、資料等）を十分に活用することで研究に役に立っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究実績でも述べたように、初等的な方法と解析的な方法を融合した結果に今のところ結びついていないが、しかし、Riemann 予想と零点の1位を仮定すれば、融合的な結果を得ている（投稿中）。これまでの研究方法を大幅に見直して、新たな方法の開拓に努める。
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Report
(2 results)
Research Products
(5 results)
