Project/Area Number |
21K03209
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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Research Institution | Kagoshima University |
Principal Investigator |
伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (60381141)
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Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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Keywords | Alon-Tarsi予想 / 行列式 / 非可換代数 / 不変式論 / Schur多項式の特殊値 / 超行列式 / derangement / 母函数 / 行列式型函数 / Cayley-Hamiltonの定理 |
Outline of Research at the Start |
本研究では, 非可換代数の不変式論と母函数論を連動・推進する. ある代数で直接不変式論を展開する代わりに, 形式的変数の代数とのテンソル積で論じる(この元を母函数と呼ぶ). 元の代数で複雑なことがこのテンソル積で簡潔になることがある(たとえば複雑な交換関係が, 簡単な交換関係に整理される). 形式的変数の代数や元の代数とのテンソル積における"微分"を用いれば, さらにさまざまな議論ができる(母函数から不変式を取り出す道具, 作用の記述の道具, さらに作用の双対性や不変式の生成性の証明の道具になる).
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Outline of Annual Research Achievements |
「Alon-Tarsi予想」というラテン方陣に関する未解決問題について, 非可換不変式論の枠組みにおける言い換えを研究した. 具体的には, 多項式環や外積代数, さらにこれらの上の微分作用素環を舞台とする不変式論の命題でこの予想と同値なものをいくつか得た. とくに微分作用素の命題は, 研究代表者が以前から研究しているCapelli型の恒等式と関連しそうに見えて, 興味深く感じている. このような不変式論的な言い換えをすることで, この未解決問題を解決する手がかりが得られれば喜ばしい. これについては現時点でさほどの方針は立っているわけではないが, Alon-Tarsi予想が解決されている特定の行列のサイズ(素数pを用いてp-1やp+1と表されるものなど)に重点を置いて探っていくことは有望だと考えている. とくに行列のサイズがp-1の場合については, 最近研究代表者の与えた結果(Glynnによる超行列式と行列式の冪の関係の不変式論的な新証明で, これから行列のサイズがp-1の場合のAlon-Tarsi予想が導出される)と関連づけることが期待できる. このような関連づけから始めて, 非可換不変式論の枠組みを足がかりにAlon-Tarsi予想の研究を進めたい. また今年度は, 以前に日高昌樹氏と共同で得たSchur多項式の特殊値に関する結果について, マトロイド理論やグラフ理論との関係を整理して, 学術論文にまとめた.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Alon-Tarsi予想の非可換不変式論の枠組みにおける言い換えをいくつか得た. これによりこの予想の解決の見通しが立ったわけではないが, 研究代表者の過去の研究との繋げられそうである.
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Strategy for Future Research Activity |
Alon-Tarsi予想の非可換不変式論の枠組みにおける言い換えについて, Capelli型恒等式や超行列式に関する研究代表者の過去の研究との繋げて調べたい.
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Report
(2 results)
Research Products
(1 results)