Analysis of the Topological Structure of the functor category of Cohen-Macaulay modules and its applications to representation types of algebras
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21K03213
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | National Institute of Technology (KOSEN), Kure College |
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Principal Investigator |
平松 直哉 呉工業高等専門学校, 自然科学系分野, 准教授 (20612039)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2022: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
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| Keywords | 極大Cohen-Macaulay加群 / 関手圏 / 加算表現型 / Cohen-Macaulay加群 / 加算CM表現型 / Krull-Gabriel次元 / コーエン・マコーレー加群 / 表現型 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は「コーエン・マコーレー（CM）加群の安定圏の関手圏の位相構造を解析することによって、位相幾何学的な構造からCM加群の表現型を特徴付ける」ことである。加群を関手の零点と見なすことで関手圏に位相空間を定義し、それによるCM加群圏の分析を行う。関手圏の位相空間は、加群圏の表現型を位相的な性質に翻訳できるので、表現型理論において有効な手法である。研究方法はこれまで申請者が推進してきたCM加群圏の局所・階層理論に対応する退化・表現スキームの理論を土台に、関手圏の閉集合とCM加群の対応や孤立点の階層構造の分析などを行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度はGorenstein局所環上の直既約な有限生成極大Cohen-Macaulay（MCM）加群の同型類のなす集合（のべき集合）に対して関手圏に由来する位相を導入し、その構造について調べた。これはKrause[1997]の類似の考察である。有限生成関手を零にするMCM加群で閉集合を定めることによって位相を定める。この視点の考察はZiegler[1984]に端を発し様々な研究がある。これまでの研究は無限生成加群の枠組みでなされている。今回の考察では有限性加群の枠組みで行なっており、その点が他と異なる。この位相空間はT_0空間になる。また表現論の観点からの結果として、直既約なMCM加群が孤立点になることとそのMCM加群がAuslander-Reiten列を持つことが同値であることがわかった。また準コンパクトになることと基礎環が有限表現型になることが同値であることなどもわかった。さらには基礎環が加算表現型を持つ超曲面環の場合に先の位相によるCantor-Bendixson（CB）階数について計算を行った。有限表現型を持つ場合のCB階数は0になること、加算A、D表現型を持つ超曲面環の場合にはCB階数が１であることがわかった。これは昨年度実施したKrull-Gabriel次元の考察と関連があり、今後の深化を期待するものであると考えている。
なお2022年度の前半では加群の退化理論について、推移性を満たさない例の考察を行っている。残念ながらこれまでの手法では退化の判定ができないことがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2022年度の結果はかねてからの研究計画にあった手法に基づいて得られたものである。極大MCM加群の集合に対して関手圏に由来する位相構造の導入に成功し、基本的な場合のCantor-Bendixson（CB）階数の計算を与えたことは評価できる。しかしながら関手圏の零点定理（閉集合とセール部分圏の対応）やCB階数やKrull-Gabriel次元の値の本質的な意味（表現型理論）、階層の分析などの考察が未達成である。また加算表現型以外の場合についても計算例を与えられていない。以上の理由からやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画に軌道を修正することができたので、計画に沿って進めていく。進捗状況でも述べたように関手圏の零点定理の考察など、基本的な性質の分析を行う。本課題では先行研究（無限生成を含む）とは異なり有限生成なMCM加群に制限して考察しているので、零点定理については否定的な視点から取り組む予定である。また並行して我々の位相構造と表現型理論との関係、例えばAuslander-Reiten quiverの連結成分と開集合の関係など、表現型理論への応用を検討を進める。有限生成なMCM加群の位相構造、また対となる関手圏の圏論的な構造を行き来しながら、MCM加群の表現論的な性質を調べていく。
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Report
(2 results)
Research Products
(4 results)
