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Solving problems about handle decompositions of manifolds and Dehn surgeries

Research Project

Project/Area Number 21K03216
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionUniversity of Tsukuba

Principal Investigator

丹下 基生  筑波大学, 数理物質系, 准教授 (70452422)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2026-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Keywordsレンズ空間 / デーン手術 / 4次元多様体 / スライスリボン予想 / pochette surgery / outer surgery / correction term / Scharlemann manifold / レンズ空間手術 / 4次元多様体の手術 / ハンドル分解
Outline of Research at the Start

4次元球体のハンドル分解において、3ハンドルがついている状況において、2,3ハンドルがどのように絡むのかについて明確にする。任意のスライドにおいて、ハンドルダイアグラムの補空間が変化する状況を読み取る。これによって、その中の結び目がどのような位置にいるのかについて突き止める。それによって、スライスリボン予想にどれほど近づけるかについて考察する。
レンズ空間手術の分類をポアンカレホモロジー球面内の結び目の場合に解決する。この解決と、changemaker latticeとの関係を探ることでレンズ空間の分類を精密化させる。また、その記述によりBerge-Gordon予想がどのように関係するかを探る。

Outline of Annual Research Achievements

エキゾチックな微分構造とは、位相同相だが、微分同相ではない2つの多様体のことである。この構造について解明することが、多様体論において非常に重要である。4次元以外では、その構造が解明されているが、4次元において可微分構造を分類することは難しい。4次元多様体のハンドル構造を用いた研究は微分構造の解明に期待できる。結び目理論におけるスライスリボン予想は、4次元球体のハンドル構造に関する問題と捉えることができる。本研究課題では、このハンドル構造の理解を推し進めることである。
全ての3次元多様体は絡み目のデーン手術で作られるが、結び目のデーン手術によってレンズ空間がいつ作られるかという問題は古くからあり、その解答はGreene氏によって得られていた。このような問題は基本的かつ重要である。Greene氏の手法は4次元の交差形式の組み合わせ的議論によって得られていた。この研究課題では、その手法ではなく、結び目のアレクサンダー多項式を平面上に描いたnon-zero curveを用いて分類を行うことである。この方法はGreene氏によるものとは違い、多くの一般化が可能となり、意義深い。例えば、L-spaceホモロジー球面上の手術についても分類することができる。また、23年度には、Caudell氏によって、ポアンカレホモロジー球面から得られるレンズ空間が全て分類された。本研究の目標は、non-zero curveを用いてこれらの分類だけでなく、あらゆるL-spaceホモロジー球面の手術で得られるレンズ空間を分類することである。
ヒーゴールフレアホモロジーはOzsvathとSzaboによって定義された。この研究では、L-space結び目が持つファイバー性に対して、そのモノドロミー的観点から明らかにすることである。これはBerge予想に向かう道筋として重要な意義を持つ。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度は、以下の3点について研究を行った。
(1)レンズ空間のデーン手術的分類 (2) コルクとstabilizationについて (3) ブリースコーン球面のd-不変量について
(1)レンズ空間がどのようなホモロジー球面のデーン手術になるかということは完全に求めることは難しい。L-spaceホモロジー球面からレンズ空間を得るとき、報告者は以前20個のリストを発見していた。このような20個のそうしたリストがL-spaceホモロジー球面から得られる全てであることが予想されている。今年はその証明の開発を推し進めた。近年Caudell氏はchangemakerを用いてポアンカレホモロジー球面上レンズ空間手術の分類に至った。我々の研究では、それ以外の場合に対して考察を進めた。特に、大学院生の田内光一氏とキャッソン不変量の観点から分類を行った。その結果、キャッソン不変量が-2,-3の場合においてスロープpが小さい場合に全て分類を与えた。それにより、デーン手術の多くのパターンを発見した。
(2)コルクとは4次元の微分構造の違いを反映させた可縮な4次元部分多様体のことをいう。コルクについて研究することで、微分構造全体の研究ができる。これまでコルクがエキゾチックな微分構造から引き出されていたが、今回の研究では、コルクを用いた微分構造全体の新しい基準を与えることと考えた。一方、微分構造全体の同値関係として、stabilizationがある。今回の研究で、コルクによる同値関係がstabilizationによる同値関係を導いた。この対応の逆について発展させることが今後の課題である。
(3)ブリースコーン球面のd-不変量を直接計算は難しく、公式を開発することは意義がある。東工大の鈴木龍正氏と研究を行い、指数p,q,rのうちrが±1mod pqの場合に平面上のある格子点の個数と等しくなることを導いた。

Strategy for Future Research Activity

本年度は、おもに以下の3点で研究を進める。
(1) レンズ空間についての研究を行う。レンズ空間がnon-zero curveを用いた分類を引き続き行う。レンズ空間の分類に関する研究の方をおし進めた。p,kの条件から決まるあるnon-zero curveのglobal viewについての特徴を引き出す。また、Greene氏とCaudellは、交差形式に関するchangemakerを用いた手法により手術の分類を行った。このことから、この研究でこの手法を取り入れる。まずはある構造を持つL-space結び目の分類を行う。また、ポアンカレホモロジー球面上のレンズ空間結び目の特質を究明する。例えば、これらの結び目のdouble primitive positionなどである。このことは、ヒーゴール種数が2の曲面上に乗るdouble primitive positionはどのように得られるかという問題を明らかにする。これにより、レンズ空間手術における考察を進める。
(2)昨年研究がストップしていたスライスリボンに関するハンドル分解の考察を進める。まずはハンドル分解の図式に対して与えられる図式のホモトピー的指標を整備することである。これにより、スライスリボン予想において困難な状況を回避できるか検討する。
(3)コルクを用いた新しい4次元多様体の理論を作る。S^2 x S^2によるstabilizationは4次元多様体の微分構造を大まかに分類する。この分類は、どのような性質を持つコルクによって得られる関係として特徴づけられるか?という問題を考察する。

Report

(3 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • Research Products

    (20 results)

All 2024 2023 2022 2021 Other

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 5 results,  Open Access: 1 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 1 results) Remarks (6 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Journal Article] Pochette surgery of 4-sphere2023

    • Author(s)
      Suzuki Tatsumasa、Tange Motoo
    • Journal Title

      Pacific Journal of Mathematics

      Volume: 324 Issue: 2 Pages: 371-398

    • DOI

      10.2140/pjm.2023.324.371

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Upsilon invariants of L-space cable knots2023

    • Author(s)
      Tange Motoo
    • Journal Title

      Topology and its Applications

      Volume: 324 Pages: 108335-108335

    • DOI

      10.1016/j.topol.2022.108335

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Ribbon disks with the same exterior2022

    • Author(s)
      Abe Tetsuya、Tange Motoo
    • Journal Title

      Communications in Analysis and Geometry

      Volume: 30 Issue: 2 Pages: 257-270

    • DOI

      10.4310/cag.2022.v30.n2.a1

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Homology spheres with E8-fillings and arbitrarily large correction terms2021

    • Author(s)
      Motoo Tange
    • Journal Title

      Indiana University Mathematics Journal

      Volume: 70 Pages: 985-1002

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Smoothly non-isotopic Lagrangian disk fillings of Legendrian knots2021

    • Author(s)
      Li Youlin、Tange Motoo
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: 213 Issue: 1 Pages: 211-225

    • DOI

      10.1007/s10711-020-00575-x

    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 4次元多様体上のPa,b-surgery2024

    • Author(s)
      鈴木龍正・丹下基生
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] コルクの基礎とその応用〜ショートコース〜2024

    • Author(s)
      丹下基生
    • Organizer
      微分トポロジー'24
    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Presentation] Lens space surgeries on homology spheres of λ = -2, -32024

    • Author(s)
      Motoo Tange
    • Organizer
      The 19th East Asian Conference on Geometric Topology
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Scharlemann manifolds and pochette surgery2023

    • Author(s)
      Motoo Tange
    • Organizer
      The 18th East Asian Conference on Geometric Topology
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Pochette surgery on S42022

    • Author(s)
      Motoo Tange
    • Organizer
      The 17th East Asian Conference on Geometric Topology
    • Related Report
      2021 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Pochette surgery on S42022

    • Author(s)
      丹下基生, 鈴木龍正
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] レンズ空間実現問題2022

    • Author(s)
      丹下基生
    • Organizer
      微分トポロジー'22
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Presentation] The third term in lens surgery polynomials2021

    • Author(s)
      丹下基生
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Remarks] Webpage of Motoo Tange

    • URL

      https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/jndex.html

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Remarks] Papers and Preprints

    • URL

      https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/P&P.html

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Remarks] 講演(2012年以降)

    • URL

      https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/talksj.html

    • Related Report
      2022 Research-status Report
  • [Remarks] Webpage of Motoo Tange

    • URL

      https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/P&P.html

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Remarks] Webpage of Motoo Tange

    • URL

      https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tange/talksj.html

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Remarks] 丹下 基生(タンゲ モトオ) - TRIOS 筑波大学研究者総覧

    • URL

      https://trios.tsukuba.ac.jp/ja/researcher/0000003271

    • Related Report
      2021 Research-status Report
  • [Funded Workshop] 微分トポロジー'242024

    • Related Report
      2023 Research-status Report

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Published: 2021-04-28   Modified: 2024-12-25  

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