| Project/Area Number |
21K03220
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Tokyo Gakugei University |
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Principal Investigator |
田中 心 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (70448950)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 低次元トポロジー / 曲面結び目 / カンドル / 結び目 / カンドル代数 / 古典的結び目 / 結び目理論 |
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| Outline of Research at the Start |
カンドルと呼ばれる代数系は結び目図式と非常に相性が良い。本研究ではカンドル代数を用いて、曲面結び目と呼ばれる「４次元空間内の閉曲面」を調べる。カンドルやそのホモロジー理論を用いると、彩色数やコサイクル不変量と呼ばれる曲面結び目不変量がそれぞれ定義される。これらの不変量は図式を経由して定義されるため、組合せ的な側面が強い。本研究では、これらの不変量の幾何的意味を明らかにし、その結果を基に曲面結び目をより詳しく調べる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
2023(R05)年度は、谷口雄太(大阪大学)氏と古典的結び目の「結び目n-カンドル」に関する研究を行なった。結び目n-カンドルとは、結び目カンドルを自然数nに応じて割って得られる不変量である。結び目カンドルは一般に無限位数だが、結び目n-カンドルは有限位数になることもあり扱いやすいはずではあるが、近年まであまり注目されてこなかった。具体的には、結び目n-カンドルの2次カンドルホモロジー群を完全に決定することができた。カギとなったのは、古典的結び目の結び目n-カンドルの(カンドル代数の意味での)普遍被覆が「n-ツイストスパン結び目の結び目カンドル」であるという事実であり、この事実は昨年度までに得られていた。顕著な成果として、結び目3-カンドルの2次カンドルホモロジー群が「自明結び目、三葉結び目、五葉結び目」を特徴づけることが分かった。なお、得られた成果を2024年2月に行われた国際集会「19th East Asian Conference on Geometric Topology」において発表した。
逆井卓也(東京大学)氏と田所勇樹(木更津高専)氏と共に「Kim--Manturovの群Γ_n^4」について研究した。この群は点の配置や曲面の三角形分割の組み合わせ構造を記述することを目的として導入された群である。我々は群表示を出発点とし、群そのものの代数構造に着目した。具体的には、群の最小生成系とアーベル化を決定した。
石川勝巳(京都大学)氏との論文「Quandle colorings vs. biquandle colorings」が2024年1月に受理され、同年3月に出版された。石川氏と継続的に取り組んでいる「ラックを"多重化"して得られるラック」や「Galkinカンドルの一般化」についての研究はあまり進展しなかった。これらについては今後の課題としたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように、研究成果が着実に出ていることを考慮し、「おおむね順調に進展している」と自己評価を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
結び目n-カンドルに関する研究はまだまだ発展する余地が残されているので、しばらくはその方向で研究をつづける。関連する研究集会やセミナーなどに参加し、自身の研究に生かす。また研究成果を発表し、関連分野の研究者からのフィードバックを得て、成果の改良や新たな方向性を模索する。
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