Exceptional Dehn surgeries on 3-manifolds, and 4-manifolds
| Project/Area Number |
21K03221
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山田 裕一 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30303019)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | ４次元多様体 / ３次元多様体 / デーン手術 / 枠付き絡み目 / Kirby計算 / divide knot / レンズ空間 / 特異点 / 特異点論 / トポロジー / 幾何学 |
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| Outline of Research at the Start |
例外的デーン手術のうちレンズ空間が生じる手術「レンズ空間手術」という。筆者はレンズ空間手術をもつ既知の結び目がすべて平面曲線で表示される(divide knot である)ことを証明し、その曲線の形状とデーン手術の係数の関係を発見した。今後も divide knot が例外的手術をもつ仕組みを考察したい。一方、例外的手術の証明「カービー計算」の過程で Mazur link が現れた。Mazur link は4次元多様体の可微分構造を切り換える「コルク」の図式である。その周辺の例外的デーン手術を調べることが、“意外な”具体例として4次元多様体論に利用できる可能性は高い。
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| Outline of Annual Research Achievements |
双曲的な結び目からのデーン手術で“例外的に”双曲的でない３次元多様体が生じる現象は「例外的手術」と呼ばれる低次元多様体論の課題の１つである。筆者はこの現象に基づいて特殊な４次元多様体を構成し、分析することを研究目標としている。令和５年度は本研究の３年目である。コロナ対策が終了して研究集会の多くが対面式で実施されるようになった１年間であった。多くの研究集会に参加して講演を聞き、会場に集まった研究者の間で課題や情報、アイデアを議論することができた。年度前半は時間的に余裕があり研究が進展したが、後半は昨年度と同様に時間不足があった。以下、令和５年度の研究活動実績を具体的に述べる：1. Non-orderded Morse な divide knot に沿うデーン手術の研究で１つの結果を得た。2. 数学会から依頼を受けたある執筆活動の仕上げをした。3. 対面式で開催された多くの集会に現地参加し情報交換を行なった。具体的には２回（秋と春）の数学会と「トポロジー・シンポジウム」、研究集会「拡大KOOKセミナー」「４次元トポロジー」「微分トポロジー'24」。世話人を務めたこともある国際集会「The 19th East Asian Conference on Geometric Topology」（今回は京大数理研）にも部分参加した。5. 丹下基生氏の運営するハンドルセミナー（多様体の「ハンドル分解」を基にした名称）にすべて参加した。
秋の数学会の際に、過去の共同研究者に本研究課題に関連するある１つの発見を伝えたところ、そこから派生するいくつかの研究課題を見つけることができ、今後につながる計画に発展した。コロナ前の研究体制が戻ってきた。より一層気持ちを切り換えて研究活動に取り組みたい。滞っている論文執筆なども進めたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究は2021年度に開始された。３年目の研究活動を、２年目に続き「やや遅れている」と自己評価する。
これは研究成果の公表の観点から考えての自己評価である。研究自体は令和５年度の間に内容的な進展があった。状況として、多くの研究集会が対面式で再開されたことの効果が大きい。例えば数学会（秋：東北大）での、本研究と近い内容の特別講演に刺激を受けての研究仲間との研究打合せがとても貴重であった。その機会を端緒として、令和５年度の後半に翌年度の研究計画が良い方に展開した。当面は、以下の課題にバランスよく取り組みたい。1. Divide曲線のうちでやや扱いが困難な non-ordered Morse 型の曲線の表す結び目に沿うデーン手術に関する研究成果をまとめる。2. 客員研究員との共同研究を開始する。本研究が発端となっただけでなく、本研究計画に密接な関わりがある。3. レンズ空間手術の結び目の divide 表示の課題に計算機を用いた新展開(令和４年度の成果)について、方針転換に取り組みたい。4. 過去の研究「例外的手術の分布」(2018)について、対象を広げて比較を検討する課題がある。5. 海外の研究動向として CP2 に埋め込まれるレンズ空間に関する研究に進展があった。これらの他にも研究課題がいくつかある。2022年度のあたりから良書の出版が相次ぎ、そのいくつかを購入している。しばらく研究分野の一層の活性化が期待される。自分自身もその一翼となれるようそれらを参考にしたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
現時点で研究の内容は変更する必要はないと考えている。対面式で開催される研究集会になるべく参加し、講演を聴いて情報収集したり、会場に集まった研究仲間と課題やアイデアを議論したりすることで研究を推進したい。研究活動がコロナ前の状況に戻ることを率直に歓迎するが、コロナの機会に始まった新しい研究活動方法（オンラインでのセミナーなど）の利点を有効活用できるよう引き続き努力したい。特に、質疑応答の際に図を共有する技術などを身につけたい。筆者は在宅勤務の研究活動に慣れることができず、大きな反省点を抱えている。もっと前から計算機やネット環境の整備に関心をもつことが必要であり、日常的・継続的な情報収集、設備の更新や管理作業、セキュリティ確認などが必要であった。
令和５年度中の研究活動が実を結び、令和６年度前半には本務先で客員研究員を迎えることになった。本研究計画とも密接な関わりがある。この期間はぜひ研究そのものに集中したい。執筆や講演などの研究活動はそれらの成果ともつながり、追って自然に追加されることになると期待したい。近年は時間的な余裕は少ないが、環境と意欲について新年度（令和６年度）は恵まれた期間になると感じている。
コロナ期間を経て研究以外の仕事がやや変容し疲弊しているが、研究が圧迫されないようあらためて心して取り組みたい。令和４年度からは教育活動にも重点を置いてきた（学生の指導や非常勤講師としての教育）が、それらの負担としての側面は一段落しており、本研究の後半期間の推進は可能と考えている。
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Report
(3 results)
Research Products
(6 results)
